Klik hier om naar de overige artikelen te gaan
Klik hier om naar de samenvatting te gaan
Klik hier om naar het hoofdmenu te gaan

Struktuur en genese, 2005, vol.18, p.7-24

Statistisch supplement - I
dr. Ewald Vervaet

Inhoudsopgave

D.I. Beschrijvende statistiek als wetenschap
D.II. Het verklarende van ‘toeval’
D.III. De spoorloos afwezige
D.IV. De meetfouttheorie als wetenschap
D.V. Het wetenschappelijke tekort van inductie
D.VI. Stochastiek en (wijkend) verklaren

E. Algehele conclusie

Noten

Voor het artikel ‘Statistiek en de statistieken’ is enig materiaal blijven liggen. Dat publiceren we nu in dit eerste supplement – ‘eerste’, omdat het in de bedoeling ligt vaker zo’n supplement te schrijven, uit onszelf omdat het onderwerp breed is en tevens maatschappelijk, wetenschapshistorisch en epistemologisch van belang of naar aanleiding van een reactie en/of discussiepunt. De naam ‘statistisch supplement’ is een woordspeling op statistische supplementen in de eigenlijke zin van het woord, namelijk als toevoegingen bij een publikatie van gegevens die beschrijvend-statistisch van aard zijn.[1]
Daar ‘Statistiek en de statistieken’ met een deel C eindigt, vervolgen we nu met deel D. De paragrafen D.I tot en met D.VI sluiten aan bij de gelijkgenummerde paragrafen van de delen A en B. We sluiten af met een algehele conclusie in deel E.

D.I. Beschrijvende statistiek als wetenschap
Over de beschrijvende statistiek als wetenschap zijn 9 onderwerpen blijven liggen: 3, 2 en 4 in verband met Graunt, Nightingale respectievelijk Durkheim.
Graunt werkt volgens de stappen van de onderzoekscyclus. a. Hij raadpleegt de sterftetabellen van Londen, krijgt al lezende enkele verklaringpogingen voor wat hij leest, en trekt die op hun houdbaarheid na door meer materiaal door te nemen: ‘Ik begon toen […] de opvattingen, meningen en vermoedens te onderzoeken, die ik had gekregen na het zien van een paar sporadische tabellen’. b. Hij sluit niet uit dat zijn verklaringspogingen door anderen weerlegd zullen worden en hoopt dat zij dan alternatieve verklaringspogingen zullen opwerpen: ‘Ik heb de moeite genomen […] deze tabellen op te maken, waardoor alle mensen zowel mijn posities kunnen verbeteren als andere van zichzelf kunnen opwerpen’. c. Hij vermoedt dat de sterftetabellen zijn opgezet in verband met de pest, en acht die verklaringspoging houdbaar in het licht van het feit dat hun begin en hervatting na een onderbreking tussen 1594 en 1602 met de pest samenhangen: ‘Ik geloof dat het bijhouden van deze verslagen is opgekomen naar aanleiding van de pest, want genoemde tabellen […] begonnen voor het eerst in het genoemde jaar 1592, dat een tijd was van grote sterfte, en werden, na enige tijd in onbruik geweest te zijn, weer hervat in het jaar 1603, na de grote pest die toen eveneens heeft plaatsgehad’.[2]
Nightingale werkt eveneens volgens de onderzoekscyclus. a. Terug uit de Krimoorlog ontmoet ze in Engeland in 1856 de Engelsman Farr. Hij brengt sterftetafels in de zin van de verzekeringswiskunde (A.III) onder haar aandacht. Daarop vergelijkt ze die van burgers met die van soldaten. Tot haar verrassing vindt ze dat in vredestijd die van soldaten in Engeland bijna het dubbele bedragen van die van burgers. Haar verklaringspoging ligt net als in het voorbeeld van B.I in de sfeer van hygiëne. b. Ze schrijft dat uniforme en accurate statistieken ‘het mogelijk zouden maken de waarde van bepaalde methodes en van bijzondere bewerkingen statistisch te bewijzen’. Ik weet niet of zij de eerste is die de term ‘statistisch bewijs’ gebruikt, maar die term is bij haar in elk geval zinvol en verwijst naar het empirisch verankeren van een verklaringspoging met gegevens van de beschrijvende statistiek.[3]
Tot slot volgt Durkheims wetenschappelijke werkwijze in de beschrijvende (en allerminst, zoals door Glas gesuggereerde) inductieve statistiek. a. De duiding vanuit de onderzoekscyclus staat telkens na het liggende streepje. Durkheim: ‘Als het proportionele aandeel van elke maand in het totaal van de jaarlijkse zelfmoorden wordt vergeleken met de gemiddelde daglengte in dezelfde tijd van het jaar, variëren de 2 getalsmatige reeksen die aldus zijn verkregen, op exact dezelfde wijze’ – de gecorreleerde variatie van de 2 reeksen in tabel XIII als ‘verrassing’; zie B.V voor een bespreking van feitelijke correlaties als deze van Durkheim versus schijnwetenschappelijke correlatiecoëfficiënten van de inductieve statistiek. Durkheim: ‘Zo’n regelmatige en precieze overeenkomst kan niet toevallig zijn’ – ‘toeval’ als ‘verklaringspoging’ wordt verworpen; de wiskundige kans dat 2 reeksen van elk 12 getallen, hetzelfde patroon vertonen, is inderdaad zeer klein. Durkheim: ‘Er moet een of andere relatie zijn tussen de voortgang van de dag en die van zelfmoord’ – een inhoudelijke relatie als ‘verklaringspoging’ voor die overeenkomst. Durkheim: ‘De theorieën van Ferri en Lambroso zouden geen verklaring kunnen bieden voor deze merkwaardige uniformiteit, want de temperatuur varieert sterk in de verschillende Europese landen en ontvouwt zich op verschillende wijze. De daglengte daarentegen is merkbaar dezelfde voor alle Europese landen die we met elkaar hebben vergeleken’ – die theorieën voor die ‘verrassing’ (‘merkwaardige uniformiteit’) dienen in het verankeringsproces verworpen te worden. Durkheim: ‘Wat de werkelijkheid van deze relatie beslist bewijst, is het feit dat de meerderheid van zelfmoorden in elk seizoen overdag voorkomt’ – hij acht zijn eigen ‘verklaringspoging’ (inhoudelijk verband tussen daglengte en aantal zelfmoorden) houdbaar, vooral in het licht van de Pruisische gegevens in tabel XIV. ‘Als de dag rijker is aan zelfmoorden dan de nacht, worden zelfmoorden natuurlijk talrijker als de dag lengt. Maar wat veroorzaakt deze invloed van de dag?’ – Durkheim verwoordt eerst zijn inhoudelijke relatie uitdrukkelijker dan eerder en vraagt vervolgens naar de verklaring voor de verankerde verklaring. Dat laatste is het epistemologische verschijnsel ‘wijken van de verklaring’; zie B.VI. Bijvoorbeeld, Newtons zwaartekrachttheorie mag dan allerlei verschijnselen op empirisch houdbare wijze verklaren (vrije val, planeetbewegingen, getijden enzovoort), maar waarom zouden 2 massa’s elkaar aantrekken, en dat nog wel volgens het product van hun massa’s en omgekeerd evenredig met hun afstand? Die vraag wordt op empirisch houdbare wijze beantwoord in Einsteins algemene relativiteitstheorie (1915), maar daar kan men ook weer de vraag bij stellen waarom de natuurkundige wetmatigheden kennelijk zijn zoals ze volgens die theorie zijn. Durkheim loopt voor zijn houdbaar gebleken verband verschillende verklaringspogingen na. b. Durkheim: ‘Als men slechts de absolute cijfers raadpleegt, lijken ongetrouwde personen meer zelfmoord te plegen dan getrouwde’. Hiernaar verwijzen Glas’ woorden ‘Durkheim liet echter zien dat we hier te maken hebben met een schijnsamenhang die verdwijnt als we op covariaten conditioneren (in dit geval op leeftijd)’. Door een term als ‘covariaat’ te gebruiken wekt Glas ten onrechte de indruk dat Durkheim in de traditie staat van de latere studies met covarianties (in de lijn van de ‘varianties’ van Fisher van A.V en B.V), covariaties en andere formules, maten en dergelijke van de inductieve statistiek. Met feitelijk-empirische (in plaats van empiristisch-positivistische) berekeningen van Bertillon (en niet van Durkheim zelf, zoals Glas schrijft) laat Durkheim zien dat dat verband inderdaad een ‘schijnsamenhang’ is. Van zijn kant geeft Durkheim 4 verklaringspogingen voor ‘verrassingen’ in de beschrijvend-statistische feiten, waarvan hij de empirische houdbaarheid in een verankeringsproces aantoont. c. Ook bij de verankerde verbanden van punt b vraagt Durkheim naar de wijkende verklaring: ‘Nadat we de feiten aldus hebben bepaald, laten we verklaringen zoeken’. Dan trekt hij verschillende verklaringspogingen op hun houdbaarheid na; bijvoorbeeld: ‘De immuniteit die door getrouwde personen wordt genoten, kan slecht aan één van de 2 volgende oorzaken worden toegeschreven’; daarop volgen 2 verklaringspogingen waarvan de eerste wordt verworpen en de tweede aangenomen – uiteraard en zoals altijd in Suïcide op feitelijk-empirische gronden. Durkheim: ‘Een bewijs voor de geringe invloed van het huwelijk is het feit dat het huwelijkscijfer weinig is veranderd sedert het begin van de eeuw, terwijl zelfmoord is verdrievoudigd’ – Durkheim verwerpt het vermoeden dat bij gehuwden vooral het gehuwd-zijn de verklaring voor het relatief geringe zelfmoordcijfer zou zijn; later laat hij zien dat het vermoeden dat bij gehuwden vooral het hebben van kinderen de verklaring daarvoor zou zijn, houdbaar is. d. Niet alleen werkt Durkheim volgens de onderzoekscyclus, een enkele keer verwoordt hij die ook: ‘We hebben er in elk geval vooral naar gestreefd het argument en de interpretatie te scheiden van de geïnterpreteerde feiten. Zo kan de lezer beoordelen wat relevant is in onze verklaringen, zonder verward te geraken’: ‘geïnterpreteerde feiten’ als ‘verrassingen’; een ‘verklaringspoging’ is inderdaad een interpretatie; hij duidt zijn werkwijze aan als een verklaren: ‘onze verklaringen’; ‘argument’ als ‘verankering’ vanwege feiten en overwegingen vóór of tegen een verklaringspoging.[4]
Ook deze voorbeelden onderstrepen eens te meer de wetenschappelijke status van Graunts, Nightingales en Durkheims werk in de beschrijvende statistiek vanwege de beantwoording ervan aan de onderzoekscyclus.

D.II. Het verklarende van ‘toeval’
Dat de kansrekening volgens de onderzoekscyclus is gegaan, blijkt andermaal uit de volgende 3 voorbeelden.
Een bekend probleem uit de geschiedenis van de kansrekening is dat van het verdelen van de pot. Dat wil zeggen, 2 spelers A en B die een gelijke kans hebben om een spel te winnen en eenzelfde bedrag in de pot doen, houden een wedstrijd: wie het eerst een afgesproken aantal spelen haalt, wint de hele pot. Hoe moet de pot verdeeld worden bij voortijdig staken van de wedstrijd terwijl de stand ongelijk is (bij gelijke stand neemt elk zijn inzet terug)? Het verdelen van de pot doet zich vaak voor in de talrijke periodes dat gokken, dobbelen en dergelijke verboden zijn zodat men een wedstrijd moet afbreken zodra een wetsdienaar in de buurt komt. De ‘verrassing’ is dus dat iemand x punten zou halen om zich winnaar te mogen noemen, terwijl niemand x haalt, de stand ongelijk is en de pot dus volgens een verdeelsleutel verdeeld moet worden. De tweede geboekstaafde verklaringspoging uit de geschiedenis voor deze verrassing is van de Italiaan Pacioli (±1445-±1514): ‘Een groep speelt balla [waarschijnlijk een balspel; EV] waar een totaal van 60 punten voor nodig is om te winnen terwijl de inzet 22 dukaten is. Door omstandigheden kunnen ze het spel niet voltooien terwijl de ene groep 50 punten heeft en de andere 30. Welk deel van het prijsgeld hoort aan elk van beide groepen toe?’. Vóór Pacioli zijn eigen verklaringspoging geeft, vermeldt hij enkele gangbare oplossingen. Één daarvan is dat men van beide zoveel punten aftrekt, dat ze samen het aantal spelen vormen. Hij neemt een wedstrijd van 8 spelen, die wordt afgebroken bij de stand 7-5. Het aantal punten is dus (7+5 =) 12, wat 4 meer is dan 8, het aantal spelen. Daarom trekt hij van beide totalen 2 af zodat de stand 5-3 wordt. Vervolgens verdeelt men de pot volgens 5÷3. Pacioli acht deze verklaringspoging onhoudbaar: ‘Eenzelfde aantal punten van elke speler terugnemen is niet rechtvaardig want dan neemt men verhoudingsgewijs minder terug van de leidende speler. Bijvoorbeeld, in [genoemde] oplossing neemt met 2/7 terug van A’s en 2/5 van B’s punten’. Voor zijn eigen voorbeeld (60 punten en stand 50-30) luidt Pacioli’s verklaringspoging dat de pot volgens 5÷3 verdeeld moet worden, dus naar de verhouding van het aantal reeds behaalde punten. Daarmee behandelt hij het verdelen van de pot op dezelfde wijze als het verdelen van de buit na het plunderen door een leger van een stad en als het verdelen van de winst tussen handelsgenoten die ergens verschillende bedragen in hebben gestoken. Dit noemt Pacioli, die de vader van het boekhouden is, de compagnieregel. Cardano acht deze regel onhoudbaar. Bijvoorbeeld, als de spelers in een wedstrijd van 19 spelen bij 18-9 ophouden, zou de pot volgens 2÷1 verdeeld moeten worden; ‘Toch mist [A] maar 1 spel om de totale winst te behalen terwijl [B] er 10 mist. Dit is geheel absurd’. Cardano verdisconteert in zijn verankeringsproces dus het aantal spelen dat eenieder nog zou moeten winnen. Zijn verklaringspoging berust als eerste in de geschiedenis uitsluitend op het aantal spelen dat nog te gaan is op het moment van afbreken, in plaats van geheel of gedeeltelijk op het aantal reeds gedane spelen. Als n het aantal spelen is en a en b het aantal spelen dat A respectievelijk B heeft gewonnen, dan is Cardano’s verdeelsleutel: {1+2+…+(n-b)} ÷ {1+2+…+(n-a)}. In Pacioli’s voorbeeld zou de verdeling dus 93÷11 moeten zijn, want n-b=30 en n-a=10 zodat de verhouding is: 1+…+30 ÷ 1+…+10 = 465 ÷ 55 = 93 ÷ 11. Cardano bewijst (‘verankert’) zijn verklaringspoging voor 3 gevallen, waarin A telkens 1 punt van het totaal verwijderd is en B 1, 2 of 3. De Italiaan Tartaglia (±1500-1557) is het oneens, zowel met Pacioli als met Cardano. Immers, volgens Pacioli’s redenering zou bij 60 spelen A de hele pot krijgen als ze bij 10-0 stoppen. Dat acht Tartaglia absurd. Dat lijkt redelijk, aangezien het aantal punten dat elk nog moet halen, 50 en 60, zich verhoudt als 5÷6. Zijn verklaringspoging luidt, in hedendaagse notatie: A krijgt (a-b)/n meer dan de helft uit de pot en B (a-b)/n minder dan de helft. In Pacioli’s voorbeeld zou de verdeling 2÷1 zijn. Zo zijn er nog vele andere verklaringspogingen, van Peverone, Cataneo, Calandri, Forestani en zo meer. Verdeeldheid alom dus onder de wiskundigen van de Renaissance. Niemand heeft de sleutel tot de oplossing en velen berusten erin dat er geen oplossing is en dat handelen. Tartaglia meent dan ook: ‘De oplossing van [het verdelen van de pot] berust meer op opinie dan op wiskunde zodat er altijd reden tot ruzie zal zijn, op wat voor manier men ook verdeelt’. Deze situatie treft Pascal aan als de Fransman De Méré (1607-1684) hem in 1654 het probleem van het verdelen van de pot voorlegt. Pascals oplossing staat in zijn brief aan Fermat van 29 juli 1654. Net als Cardano berust zijn verklaringspoging slechts op het aantal nog te winnen punten. Hij begint met een eenvoudig geval: er zijn 3 te winnen spelen en de stand is 2-1. Als ze verder zouden spelen in plaats van op te houden, is A’s kans om het spel te winnen ½. Zijn kans om 3 punten te halen en dus de hele pot te winnen is dus ook ½. B heeft echter ook een kans van ½ om dat spel te winnen, maar dan is het 2-2 en moeten ze nog eens spelen zodat elk andermaal een kans van ½ heeft om te winnen. De totale winkans voor A is dus ½+½x½ = ½+¼ = ¾ en voor B ½x½ = ¼. Oftewel, de juiste verdeling is 3÷1. Dan behandelt Pascal een iets ingewikkelder geval, namelijk met de stand 2-0. Met eenzelfde, maar iets langere redenering komt hij op 7÷1. Tot slot bekijkt hij 1-0 en beredeneert hij dat de verdeelsleutel daarvoor 11÷5 is. Fermats antwoord is verloren gegaan, maar uit Pascals brief van 24 augustus 1654 valt op te maken dat Fermat de pot op een andere manier verdeelt, voor het geval dat A nog 2 spelen moet gaan en B nog 3 (een generalisatie dus van Pascals derde geval). Er zijn dan maximaal nog 4 spelen te gaan en daarvoor gaat Fermat alle combinaties langs. Er zijn dus 2^4 =16 combinaties; A en B staat voor A’s respectievelijk B’s winnen van een spel: er is 1 combinatie met 4 A’s en 0 B’s, 4 met 3 A’s en 1 B, 6 met 2 A’s en 2 B’s, 4 met 1 A en 3 B’s en 1 met 0 A’s en 4 B’s: AAAA; BAAA, ABAA, AABA, AAAB; AABB, ABAB, BAAB, ABBA, BABA, BBAA; ABBB, BABB, BBAB, BBBA; BBBB. Oftewel, in de eerste 11 gevallen behaalt A als eerste de derde winst en dus de hele pot en in de laatste 5 gevallen geldt dat voor B. Zo men wil, Fermats methode is een reden te meer om Pascals verdeelsleutel als houdbare verklaringspoging aan te merken. In diezelfde brief schrijft Pascal dat hij Fermats methode aan een gemeenschappelijke kennis, de Fransman Roberval (1602-1675), heeft verteld en dat die Fermats methode afwijst omdat ze van 4 spelen uitgaat, terwijl de wedstrijd misschien al na 2 spelen is afgelopen, namelijk als A 2 maal wint. Roberval acht Fermats verklaringspoging daarom onhoudbaar. Voor Pascal is Robervals punt echter een hogere-orde-verrassing die hij verklaart vanuit een andere manier van denken. Hij zou Roberval namelijk de volgende retorische vraag hebben voorgehouden: ‘Is het niet duidelijk dat dezelfde spelers, die niet gedwongen zijn de 4 spelen te spelen maar het spel willen beëindigen zodra één zijn aantal bereikt zou hebben, zich ertoe kunnen binden om de 4 spelen helemaal uit te spelen en dat deze afspraak op geen enkele manier hun situatie verandert?’. Dan past Pascal Fermats methode toe op een wedstrijd tussen 3 spelers, en wel voor het geval A nog 1 spel moet winnen en B en C elk nog 2 spelen. In totaal zijn er dus nog 3 spelen te gaan. Omdat hij aan de 3 combinaties met 1 A en 2 B’s gelijkwaardig acht voor A en B (beiden krijgen 3 maal een kans van ½) en de 3 met 1 A en 2 C’s gelijkwaardig voor A en C, vindt hij voor A 13+(6x½) = 16 kansen; en voor B en voor C elk 3+(3x½) = 5½ kansen; de verhouding is volgens hem dus 16÷5½÷5½. Met zijn eigen methode vindt hij echter 17÷5÷5. Dit verschil is een verrassing want voor 2 spelers geven beide methodes dezelfde uitkomsten. Pascal verklaart die verrassing als een voortvloeisel uit Fermats volbrengen van de 3 spelen, terwijl zijn eigen methode stopt als de pot is gewonnen. Fermat antwoordt op 29 augustus 1654 dat 17÷5÷5, dus met Pascals methode, de juiste verdeelsleutel is. Op 25 september legt Fermat uit dat Pascal een denkfout maakt. Hij acht een combinatie als ACC namelijk even gunstig voor A als voor C, terwijl ze in werkelijkheid slechts gunstig is voor A. ACC houdt immers in dat A het eerste spel wint en het benodigde aantal punten heeft zodat C er, ondanks CC in ACC, niet meer aan te pas komt. Met die verbetering geeft Fermats methode, net als die van Pascal, 17÷5÷5. Om Roberval tegemoet te komen voegt hij er een derde verklaringspoging aan toe, namelijk eentje die niet uitgaat van het volbrengen van alle spelen. Pascal is kennelijk overtuigd door Fermat en acht de 3 verklaringspogingen voor 3 spelers houdbaar, want op 27 oktober antwoordt hij ‘Uw laatste brief heeft me volkomen bevredigd’. Tot slot Huygens’ manier om ‘het geen ingeset is gerechtelijck [te] deelen’. In zijn ‘voorstellen’ 4-9 behandelt hij als eerste in de geschiedenis het verdelen van de pot in een publikatie, voor 3 spelen bij de stand 2-1: ‘Genomen dan dat ick tegens een ander speele ten dryen uyt, en dat ick alreede 2 spelen hebbe en hy maer een’. Hij neemt aan dat men dient uit te gaan van het aantal spelen dat elk nog te gaan heeft; 3 spelen bij stand 2-1 acht hij identiek aan 20 spelen bij 19-18: ‘Het is seecker, dat, of wy ten 20gen uyt speelden, en dat ick 19 hadde, en die tegens my speelt 18, dat ick even het selfde voordeel soude hebben als nu, hebbende van drie spelen 2 gewonnen en hij een: door dien in beyde gevallen my noch maer een spel ontbreeckt en hem twee spelen’. Hij komt uit op 3÷1: ‘Dat men altijdt kan 3 tegen 1 setten, als men neemt 1 spel te winnen, eer dat een ander 2 spelen wint’.[5]
De Méré legt Pascal nog een probleem voor. Hij weet uit ervaring dat de kans om binnen 4 worpen 1 keer {6} te gooien, een beetje groter is dan ½ – op de lange duur is dat een winstgevend spel; hij begrijpt ook dat de kansen 671 tegen 625 zijn. Daarom verwacht hij dat de kans om binnen 24 worpen met 2 dobbelstenen 1 keer {6,6} te gooien, ook een beetje groter zal zijn dan ½ en dus ook winstgevend. De Méré redeneert: 6 (aantal mogelijke worpen met 1 dobbelsteen) ÷ 4 (aantal worpen om daarbinnen met een kans van ½ 1 keer {6} te gooien) = 36 (aantal mogelijke worpen met 2 dobbelstenen) ÷ x (aantal worpen om daarbinnen met een kans van ½ 1 keer {6,6} te gooien); ergo: x = 24. Hij merkt echter dat het spel met 2 dobbelstenen op de lange duur verliesgevend is. Zijn verklaringspoging voor die verrassing is dat de rekenkunde niet klopt: ‘De rekenkunde is strijdig met zichzelf’. Pascal heeft echter een andere verklaringspoging, namelijk Fermats methode die deze hem eerder heeft geschreven, en ondergraaft daarmee die van De Méré. Pascal voert de berekeningen niet uit, maar ze komen hierop neer. De kans om met 1 dobbelsteen 4 keer achter elkaar géén 6 te gooien is (5/6)^4 = 625/1296 . De kans om in dat geval ten minste 1 keer {6} te gooien, is dus 1-625/1296 = 671/1296 , wat groter is dan ½ en dus winstgevend. Volgens dezelfde redenering is de kans om in 1 worp géén {6,6} te gooien 35/36 en dus om dat in 24 worpen niet te doen (35/36)^24 . Dat is 0,5096. En dus is de kans om in 24 worpen ten minste 1 maal {6,6} te gooien 1-0,5096 = 0,4904, wat kleiner is dan ½ en dus verliesgevend.[6]
Poisson acht de stelling van Bernoulli en haar bewijs houdbaar – hij noemt haar zelfs ‘mooi’. Tegenover het feit dat ‘ze veronderstelt dat [de] kansen constant blijven’ is het echter verrassend dat ‘de kansen van de natuurkundige verschijnselen en van de morele aangelegenheden bijna altijd voortdurend en zonder enige regelmaat variëren’. Wat haar verklaring betreft ‘is men geneigd [die constantheid] toe te schrijven aan een of andere algemene oorzaak die onophoudelijk werkt’, maar die verklaringspoging acht hij niet en zijn eigen wet van de grote getallen wel houdbaar: ‘Het is noodzakelijk [die wet] direct te bewijzen. Daar ben ik in geslaagd, zoals men zal zien in [mijn boek Probabilité des jugements criminels] waarvan het drukken weldra gaat beginnen’. Dat boek met het bewijs (‘verankering’) van de wet van de grote getallen verschijnt in 1837.[7]
De 2 voorbeelden waar Pascal en Fermat in voorkomen, staan niet in ‘Statistiek en de statistieken’ omdat ze buiten de historische lijn zouden vallen. Immers, tot het verschijnen van Bernoulli’s Ars conjectandi in 1713, is Huygens’ Latijnse versie van Rekeningh van spelen van geluck van 1657 hét kanstheoretische leerboek voor de wetenschappelijke wereld en niet de briefwisseling tussen Pascal en Fermat daar deze pas in 1679 is gepubliceerd. Bovendien gaan in het eerste voorbeeld Pacioli, Cardano en anderen chronologisch en logisch aan Pascal en Fermat vooraf. Hoe dan ook, de 2 Pascal-Fermat-voorbeelden en dat over Poissons wet van de grote getallen, pleiten vóór de onderzoekscyclus en abductie en tegen inductie van de inductieve statistiek.

D.III. De spoorloos afwezige
Nu volgt de verzekeringswiskunde als wetenschap.
Jakob Bernoulli schrijft in 1685 of 1686 in zijn aantekenboek Meditationes en in zijn boek Ars conjectandi over het voor dood verklaren van een spoorloos afwezige. De Zwitser Nikolaus Bernoulli (1687-1759) maakt gebruik van de aantekeningen van zijn oom Jakob en schrijft in zijn proefschrift van 1709, dus nog vóór het postume verschijnen van Jakobs Ars conjectandi, over dit onderwerp. Het gaat hem vooral om ‘de verdwenenen van wie men niet kan uitvinden of ze nog leven of reeds zijn gestorven’. Hier doet zich dus de kwestie voor van de onmogelijkheid om de houdbaarheid van een verklaringspoging aan te tonen noch te weerleggen, ook in Bernoulli’s eigen optiek: ‘De dood van afwezigen in deze zin, kan moeilijk worden aangetoond. Daarom volstaat het de dood veronderstellenderwijze te hebben aangetoond’. In essentie blijft de verklaringpoging dus poging, ook als men het heel aannemelijk acht dat de spoorloos afwezige stellig is gestorven omdat hij – zeer tegen zijn gewoonte in – niets van zich heeft laten horen of dat hij stellig nog leeft omdat hij – zeer volgens zijn gewoonte – niets van zich laat horen als hij het ergens naar zijn zin heeft. Om een veelvoud van praktische redenen (menig spoorloos afwezige heeft erfgenamen; zijn echtgenote of haar echtgenoot wil hertrouwen), zijn er vele verklaringspogingen voor geopperd. Nikolaus geeft er een brede schets van. Ze blijken wat de termijn betreft te lopen van vrij spoedig na iemands verdwijning, namelijk onmiddellijk nadat is gebleken dat hij ‘niet gevonden kon worden in een ijverige onderzoeking’, via 4, 5, 7, 10, 20 en 50 (of 60) jaar tot zelfs een eeuw na verdwijning. Sedert Halley’s sterftetafel van 1693 is het echter mogelijk de juridische doodverklaring met kansen te verbinden. Nikolaus kiest in zijn verklaringspoging als criterium dat de kans dat iemand vanaf het ogenblik van verdwijning volgens Halley’s tafel is gestorven 2 maal zo groot is als dat hij nog leeft. Voor een 16-jarige komt hij zo op een periode van 25 jaar, voor een 46-jarige op 20 jaar en voor een 76-jarige op 6,7 jaar. Het enige willekeurige hieraan is dus de dubbel zo grote kans op dood dan op levend. We merken op dat de juridische doodverklaring een voorbeeld is van een verklaringspoging voor een hogere-orde-verrassing. Immers, ten opzichte van de levensverzekeringswiskunde voor het gebruikelijke geval waarin men iemands dood kan vaststellen, is iemands spoorloze afwezigheid onbegrepen.[8]
Ook in het behandelen van het onderwerp ‘de spoorloos afwezige’ gaat de verzekeringswiskunde dus verklarend en verankerend te werk.

D.IV. De meetfouttheorie als wetenschap
Hier volgen 3 voorbeelden van de wetenschappelijke status van de meetfouttheorie en 1 opmerking.
De meetfouttheorie handelt over toevallige meetfouten. Er bestaan echter ook niet-toevallige oftewel systematische meetfouten. Beide zijn houdbare verklaringspogingen voor de discrepantie tussen de achtergrondgedachte dat een grootheid theoretisch waarde x heeft (een ster bijvoorbeeld kan zich slechts op 1 plaats in het heelal bevinden), en de verschillende waarden die empirisch voor x gevonden worden. Een voorbeeld van de verklaring(spoging) ‘systematische meetfout’ is naar aanleiding van Hipparchos’ vondst op 24 maart 146 v.C. dat er 2 gemeten lentepunten zouden zijn, namelijk om 6 uur ’s morgens en om 11 uur ’s morgens. Hij laat deze verrassing onverklaard, maar Ptolemaios verklaart haar als een systematische meetfout. Hipparchos bepaalt lentepunten namelijk met een metalen ring die permanent aan een muur is bevestigd, en wel zó dat er op een lentepunt 2 dunne lichtstrepen op de binnenkant van de ring vallen (op elk van beide randen 1) in plaats van, zoals gewoonlijk, 1 lichtstreep of –vlak op 1 rand. Ptolemaios: ‘Nog veel groter kan de meetfout worden bij de instrumenten die niet voor eenmalig gebruik worden opgesteld en niet telkens weer precies in vergelijking met de waarnemingen worden getoetst, maar wie weet hoe lang al met de zich daaronder bevindende fundamenten […] zijn vast gemaakt, terwijl er in het verloop van de tijd een onopgemerkt gebleven zijwaartse verschuiving is ingetreden’. Daardoor zou Hipparchos’ ring zo hangen dat hij 2 keer kort na elkaar belicht zou worden in plaats van 1 keer tijdens het lentepunt. Tegenwoordig verklaart men Hipparchos’ waarneming om 6 uur ’s morgens met atmosferische breking van het licht: er is geen systematische fout in aan de orde maar een natuurkundig verschijnsel. Dat verschijnsel kent Hipparchos niet – het wordt door Kleomedes rond 50 n.C. ontdekt. Hoewel de later levende Ptolemaios wel bekend is met atmosferische breking, bezigt hij haar dus niet ter verklaring van Hipparchos’ meting.[9]
Al in 1794 of 1795 werkt Gauss met de methode van de kleinste kwadraten vanuit een kanstheoretische invalshoek. In juni 1798 neemt hij voor het eerst kennis van Laplaces meetfouttheorie van 1774 met de verdelingsfunctie (m/2)exp(-m|x|) en waarin, net als bij Boscovich, de som van de absolute waardes van de verschillen tussen de gecorrigeerde waarde en de waargenomen waarden geminimaliseerd moet worden. Daarin stuit hij op één of meer verrassingen. Op 17 juni 1798 schrijft hij in zijn dagboek: ‘Calculus probabilitatis contra La Place defensus. Gott. Jun. 17’ (De kansrekening tegen Laplace verdedigd. Göttingen, 17 juni). Daarmee doelt hij op ‘De onverdraaglijkheid [van Laplaces methode] met de beginselen van de waarschijnlijkheidsrekening’ (brief van 1812). Onder meer in 1821 zet hij 4 bezwaren tegen Laplaces theorie uiteen: ‘Men komt daarbij in botsing met de wiskundige continuïteit [ik neem aan dat hij doelt op de tekenomslag als gevolg van de absolute waardes; EV]; ze is net als elke andere [methode in het nemen van een verdelingsfunctie] willekeurig gekozen; de resultaten vallen veel minder eenvoudig en voldoeninggevend uit [ik neem aan dat hij doelt op de grote rekenproblemen die absolute waardes met zich meebrengen, en op het feit dat Laplaces methode niet alle waarnemingen gebruikt; EV]; op zich lijkt het ook natuurlijker om het moment van de meetfouten in een sterkere verhouding te laten toenemen als zijzelf omdat men zich zeker liever de enkelvoudige fout 2 maal laat welgevallen als de dubbele fout 1 maal [ik neem aan dat hij doelt op de 2 rechte lijnstukken in de grafiek van (m/2)exp(-m|x|) tegenover de vloeiende lijn van de klokkromme, die het snelste afneemt dicht bij het midden; EV]’. Weliswaar somt hij in 1809 zijn bezwaren pas in §186 op, nadat hij in §172-179 zijn methode van de kleinste kwadraten uiteen heeft gezet, maar chronologisch en epistemologisch is het althans wat haar formele behandeling betreft dus andersom gegaan. Immers, terwijl Gauss zich al vanaf 1794 of 1795 concreet van de methode van de kleinste kwadraten bedient, wordt hij in 1798 verrast door enkele aspecten van Laplaces meetfouttheorie van 1774 en geeft hij daar, wellicht deels pas na Legendres publikatie van 1805, op formeel vlak zijn verklaringspoging voor, die die bezwaren moet ondervangen of, zoals in de willekeurigheid van de keuze, gelijkwaardig is aan Laplaces theorie.[10]
Gauss kiest in zijn meetfouttheorie van 1809 het gemiddelde als het beste meetresultaat. Dat is voor Laplace verrassend. In die keuze zit immers iets willekeurigs en dus niet strikt wiskundigs. Vandaar dat hij het gemiddelde niet wil kiezen maar wil afleiden of, in termen van de onderzoekscyclus, de verklaringspoging ‘gemiddelde’ wil bewijzen, dus wiskundig wil verankeren. Laplace, eerst zijn verklaringpoging gevend en pas daarna hetgeen hij tracht te verklaren: ‘Daniel Bernoulli, vervolgens Euler en Gauss hebben voor [het gemiddelde de grootst waarde] genomen. [...] In het algemene geval lijkt me de wijze waarop ik zojuist de zaak heb bekeken, uit de waarschijnlijkheidstheorie zelf te resulteren’.[11]
Kepler vindt zijn formule voor de ellipsbaan van Mars concreet door eerst na te gaan welke vorm Brahes waarnemingen het beste verklaart. Wanneer hij vindt dat dat de ellips is, moet hij echter nog proberenderwijze erachter komen welke concrete ellips het beste voldoet. De methode van de kleinste kwadraten treft hier in 2005, wanneer de ellipsvorm stevig verankerd is binnen Newtons zwaartekrachttheorie (‘wijken der verklaring’; zie ook B.VI), sneller doel. Bovendien zou dan blijken dat er wat af te dingen is op Kelpers ‘volkomen overeenstemming met de waarnemingen’. Ik weet niet of iemand al eens de methode van de kleinste kwadraten heeft toegepast op Brahes waarnemingen van de posities van Mars, maar het lijkt me aardig om te zien hoe dicht de ellips daaruit en Keplers ellips bij elkaar liggen.[12]
Kortom, de gangen van zaken zowel rond Hipparchos’ vondst op 24 maart 146 v.C. (‘systematische fout’ en ‘atmosferische breking’ als verklaringspogingen) als rond Gauss’ meetfouttheorie en Laplaces verscherping daarvan pleiten vóór de onderzoekscyclus en abductie en tegen de inductieve statistiek en inductie. Dat geldt ook voor de opmerking over Keplers vondst van die ene formule voor de elliptische baan van Mars, maar daarin stel ik een vergelijking voor tussen Keplers concrete werkwijze en de formele werkwijze vanuit de methode van de kleinste kwadraten.

D.V. Het wetenschappelijke tekort van inductie
De eerste 3 alinea’s bevatten elk een onderwerp dat onze duiding in B.V van de inductieve statistiek als onwetenschappelijk aanvult. Daarna volgen de onderwerpen ‘inductieve statistici en abductie’ en hoofdformule van de testpsychologie.
De Fransman Cournot (1801-1877) stelt dat het gemiddelde, zoals in Quetelets ‘gemiddelde mens’, niet altijd geoorloofd is. Zijn beroemde voorbeeld is dat als men de zijdes van een rechthoekige driehoek laat variëren, de gemiddeldes van de zijdes doorgaans geen rechthoekige driehoek opleveren. Zo zijn de driehoeken A1B1C1 met A1B1=4, A1C1=3 en B1C1=5 en A2B2C2 met A2B2=3, A2C2=4 en B2C2=5 rechthoekig (3^2+4^2 = 9+16 = 25 = 5^2), terwijl hun gemiddelde driehoek A3B3C3 dat niet is: A3B3=A3C3=3,5 en B3C3=5 terwijl 3,5^2+3,5^2 = 12,25+12,25 = 24,5 ≠ 25 = 5^2. Cournot: ‘[Quetelet] stelt zich voor de gemiddelde mens te definiëren en te bepalen, door een stelsel van gemiddeldes die zijn ontleend aan het meten van de taille, van het gewicht, van de krachten enzovoort, van een groot aantal individuen. De aldus gedefinieerde gemiddelde mens zou, verre van in zekere zin het type van de soort te zijn, heel eenvoudig een onmogelijke mens zijn; of althans niets machtigt ons tot zover hem als mogelijk te beschouwen’.[13]
In B.V hebben we gezien dat het slechts geoorloofd is de meetfouttheorie over te planten naar een kenveld als er sprake is van een herhaalde proefneming. Men zou kunnen tegenwerpen dat het dan niet geoorloofd is de constantheid van de geslachtsverhouding te bekijken vanuit kanstheoretische invalshoek. Mijns inziens is het wel geoorloofd de geslachtsverhouding ook, maar niet uitsluitend, vanuit die invalshoek te bekijken omdat de in het geding zijnde variabelen de 2 geslachten zijn: een man en een vrouw planten zich voort en de uitkomst, hun kind, heeft 1 van die 2 geslachten.
In B.V hebben we gezien dat Galton het begrip correlatie uit Darwins boek On the origin of species kent. Gezien het niet verklarende van de inductieve statistiek in het algemeen en van Galtons inductief-statistische werk in het bijzonder acht ik het daarom relevant om op te merken dat Darwin in de paragraaf ‘Correlation of growth’ en elders Cuviers statisch blijvende correlaties verklaart, namelijk op evolutionaire wijze, wat weer een voorbeeld is van het wijken van het verklaren. Galton lijkt de kern van Darwins gebruik van Cuviers correlatiebegrip dus in het geheel niet te begrijpen. Voorts heeft Galton het correlatiebegrip bij de Engelsman Jevons gelezen in diens boek The principles of science van 1874. Daarin staat onder meer: ‘Dingen zijn gecorreleerd (con, relata) als ze zo aan elkaar zijn gerelateerd of verbonden dat waar de ene is de andere is, en waar de ene niet is de andere niet is’. Welnu, Galton is Darwins neef en kent diens werk zeer goed, terwijl hij Jevons’ boek in zijn bezit heeft. In de kantlijn bij Jevons’ omschrijving van het correlatiebegrip schrijft hij onder meer ‘Nice wd’ (‘leuk woord’).[14]
Andermaal blijkt de inductieve statistiek dus geen geslaagde poging tot wetenschapsbeoefening te zijn. Zou dat kunnen komen doordat haar beoefenaren abductie niet kennen? Het is mogelijk dat ze het begrip ‘abductie’ en haar wetenschapshistorische demonstratie niet kennen, maar op ten minste 2 manieren kennen ze het wel. In de eerste plaats kennen ze het in praktische zin. Ik twijfel er geen ogenblik aan of Quetelet, Galton, Pearson, Yule, Fisher, Eysenck en alle andere inductieve statistici gaan abductief te werk als ze iets kwijt zijn: ‘Zou het in kast K liggen?’, ‘Zit het misschien in die blauwe tas?’, ‘Ik zal het toch niet in de auto hebben laten rondslingeren?’ en dergelijke staan voor even zovele verklaringspogingen. Dat geldt ook voor het even betasten van een zak van een broek of colbert. In de tweede plaats kennen ze abductie ook allemaal als wetenschapper. Voorbeeld 1. Quetelet over Saturnus’ ring: ‘Huygens was de eerste wien het gelukte den aard van een ligchaam te verklaren, dat zich met zulke zonderlinge schijngestalten vertoont’; ‘zonderlinge schijngestalten’ als ‘verrassing(en)’ en ‘gelukte te verklaren’ als verankerde verklaringspoging. Voorbeeld 2. Galton krijgt een brief van de moeder van een tweeling met daarin deze passage: ‘Er scheen een soort inwisselbare gelijkheid in de manier van uitdrukken te zijn, die vaak op elk het effect had meer op z’n broer te lijken dan op zichzelf’; Galton, voor wie dit een te verklaren ‘verrassing’ is: ‘Ter verklaring van deze kennelijke inwisselbaarheid moeten we ons herinneren dat geen karakter eenvoudig is en dat in tweelingen […] elke uitdrukking in de één gepaard kan worden aan een overeenkomstige uitdrukking in de ander’. Voorbeeld 3. Pearson ziet zijn ‘hopeloos onjuiste beweringen’ over Bravais als een verrassing die een verklaring behoeft: ‘Het is heel moeilijk nu te verklaren waarom mijn toeschrijvingsfouten tot stand zijn gekomen en nog minder is het mogelijk te begrijpen waarom latere schrijvers mijn valse geschiedenis niet hebben verbeterd maar louter hebben herhaald’. Daarna volgt een verklaringspoging waarvan we de inhoud en haar eventuele (on)houdbaarheid laten rusten. Voorbeeld 4. Fisher over onderzoek in verband met de rhesusfactor: ‘Echter, één serum in het bijzonder gaf opvallend verschillende resultaten [‘verrassing’; EV] en bevatte evident een verschillend antilichaam [‘verklaringspoging’; EV] dat ik zal aanduiden met γ of anti-c’. Als aanvulling op deze 4 voorbeelden een voorbeeld van Stigler, wetenschapshistoricus van de inductieve statistiek. De Engelsman Hartley schrijft op p.338 van zijn boek Observations on man (1749) over de omgekeerde kansrekening: ‘Een vernuftige vriend heeft me een oplossing van het omgekeerde probleem meegedeeld’, waarna hij Bayes’ omgekeerde kansrekening schetst. Voor eenieder die weet dat Bayes’ artikel daarover in 1763 is verschenen, is die passage uit 1749 verrassend. Zo ook voor Stigler: ‘Wat, vragen we, hebben we nou? Bayes’ theorema 12 jaar vóór Bayes’ dood en 15 jaar vóór Price het artikel publiceerde? Wie was deze vernuftige vriend? Zou het Bayes geweest kunnen zijn? En als niet Bayes, wie dan wel?’. Stigler loopt enkele weinig aannemelijke kandidaten langs maar ook enkele heel serieuze om met ‘onbeslist’ te eindigen: ‘We zullen het misschien nooit weten, maar laat ons Bayes geven wat hem toekomt’. Kortom, inductieve statistici en hun historici, die op het punt inductie geen kritiek hebben, kunnen volgens de onderzoekscyclus werken en hebben wel degelijk een notie van abductie, maar ze hebben een inductief idee van kennisverwerving. Naar dat idee wensen ze te handelen wanneer ze die handelingen het predikaat ‘wetenschappelijk’ willen meegeven.[15]
De hoofdformule van de testpsychologie is in naam gebaseerd op een meetfouttheoretische overweging. Ze luidt: waarneming X = W+E, met W voor ‘ware score’ en E voor ‘error’ (Latijn voor ‘dwaling’ of ‘fout’ en Engels voor ‘meetfout’). Men zou de ware score steeds beter benaderen naarmate men meer waarnemingen doet. Immers, dan zou het gemiddelde van E gelijk worden aan 0, zodat steeds beter X = W zou gelden. Ten eerste, hierin keert hetzelfde punt terug als in het onterechte overplanten van de klokkromme van 1 object naar een groep objecten sedert Quetelet (en mutatis mutandis ook in regressieanalyses sedert Yule): er is geen theoretische verwachting maar toch gaat men op zoek naar een ‘ware score’ alsof de waargenomen waardes vanzelf naar de theoretische waarde zouden gaan doordat de meetfouten naar 0 zouden gaan. Dit is echter een statistisch-positivistische uitwerking van de inductief-empiristische gedachte dat kennis uit waarnemingen zou kunnen voortkomen. Ten tweede, om iemands totaalscore te bepalen worden bijvoorbeeld 17 scores op een 5-puntsschaal bij elkaar opgeteld. Men bezigt dan dus – doorgaans impliciet maar daardoor niet minder feitelijk – de formule ∑si (over i van 1 tot en met 17) met si = 1,2,3,4,5. De geldigheid van die formule (en van vergelijkbare formules bij duizenden psychologische tests) is echter nog nooit empirisch aangetoond, terwijl er wel dezelfde bezwaren aan kleven als aan Galtons gewone statistische schaal omdat ze daar met weglating van de klokkromme in wortelt.[16]
Kortom, ook nu weer blijkt de inductieve statistiek van 2005 geen deugdelijke voorgeschiedenis te hebben voor wat betreft haar aanspraken op houdbare opvattingen omtrent haar eigen kennisverwerving. Dat blijkt in het bijzonder in de abductieve momenten bij inductieve statistici en in de principiële onhoudbaarheid van de hoofdformule van de testpsychologie die om begrijpelijke redenen nog op het nivo staat van ‘intelligentie is wat deze intelligentietest meet’.

D.VI. Stochastiek en (wijkend) verklaren
De 3 onderwerpen van D.VI zijn: de verklarende voorgeschiedenis van de stochastische natuurkunde in 8 alinea’s, kanstheoretische overwegingen bij Clausius en een voorbeeld van de onderzoekscyclus bij Maxwell.
B.VI bevat een korte schets van de ontstaansgeschiedenis van de wet van Boyle vanaf Galilei. Hoewel die geschiedenis zelf geen verband houdt met de stochastische natuurkunde, is ze wel van belang bij het aantonen van de stelling dat de stochastische natuurkunde sedert Clausius en Maxwell geduid wordt in het kader van het wijken van het verklaren. Immers, dat wijkende verklaren staat of valt met het voorafgaande verklaren. We gaan terug naar de Griekse Oudheid. De verrassing dat vaste stoffen als stukken hout en vruchten gespleten kunnen worden, verklaart Democritus (460-370 v.C.) met het ledige: tussen de basale bestanddelen van de materie (‘atomen’) zou er lege ruimte bestaan, waardoorheen bijlen, messen en dergelijke zouden kunnen bewegen. Aristoteles (384-322 v.C.) bestrijdt het bestaan van het ledige. Hij verstaat eronder ‘ruimte waar niets in is’. Hij neemt aan dat een beweging des te sneller kan geschieden naarmate het medium (zoals water of lucht) dunner of ijler is: ‘Naarmate het medium meer immaterieel is, minder weerstand biedt en gemakkelijker te verdelen is, zal de beweging [erdoorheen] des te sneller zijn’. Daarom zou het in een lege ruimte bewegen ‘met een snelheid buiten elke verhouding’ – in 2005 zouden we zeggen ‘met een oneindig grote snelheid’. En omdat hij zo’n snelheid absurd en dus onmogelijk acht, zou het ledige niet kunnen bestaan. Op logische en allerminst op empirische gronden acht Aristoteles een lege ruimte dus onbestaanbaar. Verrassende verschijnselen als de hevelwerking, de moeite om 2 vlakke platen van elkaar te verwijderen en het feit dat een met water gevuld vat niet leegloopt als het omgekeerd in een groter vat water wordt geplaatst, verklaart men al spoedig met Aristoteles’ theorie van de onmogelijkheid van het bestaan het ledig. Men duidt deze theorie aan met de term ‘horror vacui (naturae)’: de natuur zou een afkeer van een vacuüm hebben en elke dreigende leegte onmiddellijk opvullen met andere materie.[17]
Tegen de achtergrond van de ‘horror vacui’-gedachte wordt de Italiaan Baliani (1582-1666) in 1630 3 keer verrast. Op 27 juli van dat jaar schrijft hij erover aan Galilei. Om een aquaduct in Genua uit te breiden wil men het over een heuvel van ’84 Genovese palmen [20,8 meter; EV] leiden met een sifon’. Baliani’s eerste verrassing is dat ‘deze sifon niet het gewenste effect geeft’: het water stroomt niet van de ene kant van de heuvel naar de andere. Bovendien – verrassing nummer 2 – denkt men het stromingsproces te bevorderen door de sifon alvast met water te vullen, maar dat stroomt aan beide kanten terug, ook als de bovenkant van de sifon is afgesloten. Baliani’s verklaringspoging luidt: ‘In het bovendeel dringt er lucht binnen’. Hij verwerpt dit idee onmiddellijk want ‘Men ziet echter niet van waar’. Zijn derde verrassing (‘iets anders dat me verbaasd’) is dat het water in de beide delen van de sifon, als ze gesloten zijn, steeds tot dezelfde hoogte blijft staan, namelijk tot ongeveer de helft, dus tot 10,4 meter. Ook hiervoor heeft hij een verklaringspoging die hij meteen verwerpt: ‘Ik ben gaan overwegen of het kan zijn dat […] de sifon enkele gaatjes heeft. […] Ook als men nauwgezetheid aanwendt, kan men niet zien dat hij waarneembare poriën heeft’. Op 6 augustus 1630 antwoordt Galilei Baliani. Hij heeft iets dergelijks eerder meegemaakt, is tot de conclusie gekomen van de ‘onmogelijkheid van het gezochte’ en noemt het een ‘probleem […] dat werkelijk iets heel wonderlijks heeft’. Zijn verklaringspoging voor dat wonderlijks (‘verrassing’) is een omkering ten opzichte van de ‘horror vacui’-gedachte: de natuur zou geen vacuüm vrezen, maar van een vacuüm zou een kracht uitgaan. Een vacuüm zou een vloeistofkolom hoog houden, precies zoals een touw een gewicht omhoog houdt. Echter, precies zoals het touw breekt onder een te groot gewicht, zo zou het verband tussen de top van een buis en een vloeistofkolom verbroken worden als die kolom te zwaar zou zijn – dan ontstaat er alsnog een lege ruimte. Aldus zou water niet hoger dan 20 armen [11,7 meter; EV] kunnen komen: ‘Men kan het water slechts tot een hoogte van 20 armen doen stijgen’. Baliani trekt Galilei’s verklaringspoging in een brief van 24 oktober 1630 in twijfel, en wel omdat hij meent dat lucht gewicht heeft: ‘Ik ben nog niet de gangbare mening toegedaan dat het vacuüm niet zou bestaan. […] Ik heb geloofd dat het vacuüm uiteraard bestaat vanaf die tijd dat ik heb gevonden dat de lucht een merkbaar gewicht heeft’. Dit acht hij des te aannemelijker daar er onder water een steeds grotere druk heerst naarmate men dieper duikt. Baliani vergelijkt de waterkolom boven een duiker dus met de luchtkolom boven iemand op het droge: ‘De diepte van het water zou volgens mij evenredig toenemen met de druk. […] Hetzelfde […] gebeurt met ons in de lucht: we bevinden ons onderin zijn onmetelijkheid’. Daar echter de luchtkolom boven de aarde niet oneindig groot is, is zijn gewicht ‘niet oneindig maar bepaald’. En daarom ontstaat er een vacuüm in een gesloten buis als die maar lang genoeg is. Rond 1635 wordt Galilei met hetzelfde probleem geconfronteerd als men voor de grote paleistuinfonteinen van de hertog van Toscane water met een zuigpomp uit een bron omhoog tracht te trekken: het water gaat niet hoger dan een meter of 11. Galilei wordt erover om advies gevraagd, maar erkent er geen sluitende verklaring voor te hebben. In zijn boek Discorsi van 1638 laat hij Sagredo er dit over zeggen: ‘Ik heb eens een bron waargenomen waarvoor een buis werd gemaakt om het water eruit te trekken (met een zuiger en een zuigerklep). […] Zolang er in de bron tot een bepaalde hoogte water is, trekt de buis het water in overvloed; maar wanneer het water onder een bepaald teken daalt, werkt de buis niet meer [‘verrassing’; EV]. De eerste keer dat ik zo’n gebeurtenis waarnam, dacht ik dat het mechanisme stuk zou zijn’. De werkbaas verwerpt Sagredo’s verklaringspoging en oppert als een alternatief: ‘Er was geen enkele defect anders dan in het water: omdat dat teveel gedaald was verdroeg het niet om naar zo’n grote hoogte opgeheven te worden’. Hij voegt eraan toe dat 18 armen [10,5 meter; EV] de ‘uiterste hoogte’ is. Voorts herhaalt Sagredo Galilei’s eigen vergelijking van de waterkolom met een touw.[18]
In Rome zijn onder meer de Italianen Magiotti (1597-1658) en Berti (1600-1643) enthousiast over wat Galilei Sagredo laat vertellen. Magiotti krijgt het idee om met een buis een vacuüm te maken. Rond 1641 voert Berti het uit. Hij vult een loden buis van ongeveer 13 meter (dus langer dan de 10,5 meter van Sagredo) met water, sluit de ene opening af met een kraan en de andere met een glazen kolf. Hij bevestigt het geheel aan zijn huis, met de kolf aan de bovenkant en de kraan in een waterton. Zodra hij de kraan opent, stroomt er water uit de buis, en wel – zoals in de kolf te zien is – tot ongeveer 18 armen, Sagredo’s waarde! De volgende morgen staat het nivo van het water nagenoeg gelijk, terwijl de kraan onderaan de hele nacht open was blijven staan. Om te bewijzen dat er in de kolf een vacuüm is ontstaan, opent hij de kolf. En jawel, met luid geruis komt er lucht in naar binnen. Kennelijk is de ruimte bovenin voordien leeg geweest: de verklaringspoging blijkt verankerbaar. Na Galilei’s overlijden in 1642 volgt Torricelli, zijn ex-student en assistent sedert oktober 1641, hem op als hoogleraar aan de academie van Firenze en als hofgeleerde van de hertog van Toscane. Zo komen Galilei’s notities over allerlei natuurkundige kwesties en diens correspondentie met Baliani in Torricelli’s bezit. Kennelijk spreken Baliani’s gedachtes hem meer aan dan Galilei want in 1643 neemt hij aan dat het gewicht van de luchtkolom naast een buis de verklaring is voor genoemde verrassingen. Hij wil hiermee experimenteren en neemt daartoe kwik in plaats van water: daar kwik soortelijk bijna 14 keer zwaarder is dan water kan de buis navenant korter zijn. Het is niet helemaal duidelijk hoe Torricelli op dat idee komt. Volgens Magiotti, die bij Berti’s proef is geweest, heeft hij het idee van hem – in een brief aan Torricelli zou hij ge suggereerd hebben dat Berti’s proef met het zwaardere zeewater minder omslachtig zou zijn geweest. Daar staat tegenover dat Galilei zelf wellicht de gedachte heeft geopperd dat kwik vanwege zijn grotere zwaarte in een pomp en in een sifon een lager nivo zou innemen dan water. Torricelli’s assistent Viviani (1622-1703), die eveneens bij Galilei heeft gestudeerd, doet de proeven, waarschijnlijk aan het begin van 1644. Torricelli’s eerste verslag is de brief van 11 juni 1644 aan zijn vriend Ricci. Net als de schriftelijke weergave van zijn lessen aan de Florentijnse academie, de Lezioni accademiche die postuum in 1715 verschijnen, bevat die brief diverse passages die aan Baliani zijn ontleend, zoals ‘Wij leven ondergedompeld op de bodem van een diepte van elementaire lucht, van welke men uit onbetwijfelde proeven weet dat ze gewicht heeft’. Baliani’s en Torricelli’s theorie vindt al spoedig een eerste verankering. Een buis van 2 armen [1,17 meter; EV] wordt geheel met kwik gevuld en aan beide kanten gesloten in een waskom met kwik geplaatst. Zodra het onderste uiteinde wordt geopend daalt het kwik tot het voorspelde nivo van ‘1¼ arm en 1 vinger’. Dat is 1,25x0,584 + 0,03 = 0,76 meter, ongeveer gelijk dus aan 1/14x10,5 = 0,75 meter (het soortelijke gewicht van kwik is ongeveer 14 en het waternivo in de waterversie van de proef is 10,5 meter). Vervolgens weerleggen Torricelli en Viviani de verklaringspoging dat er van de lege ruimte bovenin een kracht zou uitgaan (‘horror vacui’ en Galilei’s ‘vacuümkracht’), door gebruik te maken van het hen bekende en reeds toegepaste feit dat water soortelijk lichter is dan kwik zodat de eerste boven de tweede drijft: ‘Om aan te tonen dat de buis volmaakt leeg was, vulden we de waskom [tot aan de rand, punt D op de bij de brief gevoegde tekening] met water en toen we de buis beetje bij beetje optilden zagen we dat, toen de buisopening het water bereikte, dat kwik uit de buis neerdaalde en dat de buis met een verschrikkelijke onstuimigheid met water werd gevuld [helemaal tot bovenin, punt E op de tekening]’. Inderdaad, als er een of andere fijne stof in het doorzichtige deel bovenin de buis zou zitten (zoals sommigen in die tijd aannemen), zou dat deel niet volledig met water gevuld kunnen worden – ook een buis van 10 meter zou in die proef geheel gevuld worden vanwege bovenstaande 10,5 meter. Bovendien doet Viviani de proef met 2 identieke buizen, waarvan de tweede een extra uitstulping heeft zodat er boven het kwik meer ruimte is dan boven dat in de eerste buis. Toch staat het kwik in beide even hoog; Torricelli aan Ricci: ‘Dit maakt het bijna zeker dat de actie niet van binnen komt [omdat de tweede ruimte], waar meer verdunde substantie zou zijn, zou een grotere kracht hebben gehad, die actiever zou aantrekken vanwege de grotere verdunning dan in de veel kleinere [eerste ruimte]’. Ook merkt Torricelli in zijn brief aan Ricci iets op over het verschil tussen het gewicht van een luchtkolom onderaan de atmosfeer, dat hij op een vierhonderdste deel schat van het gewicht van water, en op een bergtop, een gedachte die andermaal is ontleend aan Baliani’s gedachteëxperiment onder water: ‘Het gewicht (van de lucht) dat Galileo aangaf, geldt voor de laagste atmosfeer waar mensen en dieren leven, maar op de toppen van hoge bergen begint de lucht […] veel minder te wegen dan het vierhonderdste deel van het gewicht van water’. Ricci antwoordt Torricelli op 18 juni en werpt 3 mogelijke bezwaren op. Torricelli weerlegt ze op 28 juni. Op 2 juli 1644 schrijft Ricci dat hij geheel is voldaan.[19]
Ricci en anderen die kopieën van de correspondentie tussen hem en Torricelli krijgen, zoals de Fransman Du Verdus, schrijven over Torricelli’s theorieën en bevindingen aan diverse onderzoekers in Europa. Zo ontvangt de Fransman Mersenne (1588-1648) op 9 juli 1644 uittreksels van beide brieven van Torricelli aan Ricci. Mersenne probeert de proeven te repliceren, tevergeefs omdat zijn glazen buizen niet bestand zijn tegen het zware kwik. Mede daarom vervoegt hij zich eind december 1644 bij Torricelli in Firenze om zich persoonlijk van een en ander te vergewissen. Terug in Parijs lukt het nog steeds niet, om dezelfde reden. Wel praat en schrijft hij met velen over de proeven, onder meer met de Fransman Petit in Rouaan alwaar een glasfabriek is die op diens bestelling stevige glazen buizen vervaardigt. Waarschijnlijk in oktober 1646 slaagt Petit er als eerste buiten Italië in om Torricelli’s proef te repliceren, samen met Pascal die ‘verrukt was om over een dergelijke ervaring te horen spreken’. In de winter van 1646-1647 doet Pascal zelf vele proeven, vooral om aan te tonen dat er in de klassieke proef daadwerkelijk een vacuüm ontstaat. Sommigen menen bijvoorbeeld dat de leegte bovenin de buis slechts in schijn een vacuüm is en dat er zich geesten, in de zin van wijngeest, lavendelgeest en dergelijke, in zouden bevinden. Om dit te weerleggen doet Pascal de klassieke proef niet met kwik maar zowel met water als met wijn. Aangezien wijn veel meer ‘geest’ bevat dan water, zou de hoogte van de wijnkolom lager moeten zijn dan die van de waterkolom. Aan de andere kant voorspelt Torricelli’s theorie dat de wijnkolom hoger zal zijn dan de waterkolom daar het soortelijke gewicht van wijn kleiner is dan dat van water. De dubbele proef laat zien dat de wijnkolom iets hoger is dan de waterkolom en toont daarmee de houdbaarheid aan van de verklaringspoging dat het vacuüm echt is in plaats van schijnbaar. Door dit soort proeven onderscheidt Pascal ‘schijnbare leegte’ (die eventueel nog gevuld zou kunnen zijn met ‘geesten’ of andere niet waarneembare materie) van ‘werkelijke leegte’ en besluit hij: ‘Na te hebben aangetoond dat geen van de stoffen die onder onze zintuiglijke waarnemingen vallen en waarvan we het bestaan kennen, deze schijnbaar lege ruimte vullen, zal het, totdat men me het bestaan heeft aangetoond van een of andere stof die haar vult, mijn gevoelen zijn dat ze werkelijk leeg is en beroofd is van alle materie’. Pascal doet zijn proeven, al dan niet samen met Petit, ook in het bijzijn van publiek. Daaronder bevindt zich onder meer Roberval die we al in D.II hebben ontmoet. Hij schrijft 2 verhalen over de leegte. In zijn eerste verhaal, van 1647, verklaart hij Torricelli’s en Pascals proeven met een werkelijke leegte. De Aristotelianen verklaren ze echter met een klein beetje lucht dat in de buis zou zijn meegekomen of gebleven. Omdat die verklaringspoging Roberval intrigeert, doet hij er thuis in Parijs eigen proeven mee. Zo laat hij in de klassieke proef een luchtdruppel binnen (waardoor het kwiknivo daalt). Dan sluit hij de buis met een vinger af, haalt hij hem uit het kwikvat en keert hij hem om. Het kwik en de lege ruimte verwisselen onmiddellijk van plaats, maar door het kwik stijgt langzaam een luchtdruppel omhoog. De lege ruimte bevat kennelijk geen lucht – verankering van ‘werkelijke leegte’. Om ‘werkelijke leegte’ verder te verankeren, herhaalt hij de proef, eerst met een waterdruppel in de buis en daarna met een lucht- én waterdruppel; Roberval: ‘En steeds gebeurde hetzelfde’, namelijk het langzame opstijgen van een druppel water respectievelijk water plus lucht. De 3 druppels (lucht, water, lucht plus water) gedragen zich kennelijk op dezelfde wijze die afwijkt van het gedrag van de lege ruimte die onmiddellijk van plaats wisselt met het kwik. Omdat licht en kleuren door die lege ruimte gaan, houdt Roberval toch een zekere twijfel over het bestaan van een werkelijke leegte. Hij blijft er daarom mee experimenteren. Daar opent hij zijn tweede verhaal, van 1648, mee. Muizen en vogels sterven ogenblikkelijk in de lege ruimte, wat vóór een werkelijke leegte pleit. Insecten leven echter verder als ze weer in de buitenlucht komen en wormen leven binnen de lege ruimte op dezelfde wijze voort als erbuiten. Deze 2 feiten laten - gezien de onwetendheid in die tijd omtrent de samenstelling van de lucht en het ademhalingsstelsel van verschillende diersoorten - de mogelijkheid open van een schijnbare leegte die met één of andere stof is gevuld. Roberval gaat echter om naar aanleiding van de verwarmingsproef, waarschijnlijk in het voorjaar van 1648. Als hij een brandende doek bij de lege ruimte houdt, daalt het kwiknivo namelijk. Deze verrassing verklaart hij met ‘één of ander lichaam dat bevattelijk is voor verdunning’: ‘Er bevindt zich daar dus één of ander lichaam dat een grotere plaats heeft ingenomen dan daarvóór’. Dat kan echter geen lucht zijn want die heeft hij daarvoor met de grootste zorg uit de buis verdreven (de huidige verklaring voor Robervals verrassing is dat er een klein beetje water in de buis is achtergebleven). Even terug naar Pascal die in één van zijn proeven een buis met wijn van verticaal naar schuin verplaatst in de waterbak waarin hij staat. Verticaal gemeten blijft de wijnkolom aan de bovenkant dan even hoog. Opdat de buis aan de onderkant met water wordt gevuld, wordt er water onttrokken aan de waterbak. Maar daar, zoals we zojuist hebben gezien, het soortelijke gewicht van wijn kleiner is dan dat van water, blijft de wijn op het water drijven. Wellicht hierdoor geïnspireerd vult R oberval een buis met kwik, op de bovenste 1,5 duim na, waar hij water in doet. Volgens verwachting bevindt zich het water boven het kwik. Als hij de buis omdraait, wisselen water en kwik van positie. Als hij de buis weer in het kwikvat plaatst, doen zich 2 verrassingen voor. Er ontstaat bovenin de buis een schijnbare leegte doordat er ‘ontelbare belletjes’ opstijgen. En de belletjes stijgen sneller op dan het water. Robervals verklaringspoging is dat die belletjes uit het kwik komen, dat er ‘verdunde lucht’ in zit en dat die verdunde lucht uitzet (de huidige verklaring is dat de luchtbelletjes uit het water komen). Om de uitzetting van die ‘verdunde lucht’ nader te onderzoeken laat hij opzettelijk lucht in de buis, en wel een even grote hoeveelheid als water: hij vult de buis met kwik, op de bovenste 3 duim na – die vult hij voor 1,5 duim met water terwijl hij 1,5 duim overlaat voor lucht. Tot zijn verrassing daalt het kwiknivo nu veel meer dan verwacht: ‘Men ziet dat het kwik 4 hele duimen lager staat dan gewoonlijk’ en dat terwijl lucht soortelijk veel lichter is dan water. Roberval herhaalt de proef diverse keren, ook met langere en kortere buizen. Daarbij valt het hem op dat het kwik minder daalt naarmate de buis langer is: ‘In andere buizen komt het kwik nog lager, als die althans korter zijn; maar hoger als ze langer zijn. Een hoogte van 2 7/24 voet, die wordt bereikt bij een leegte zonder lucht, wordt echter nooit gehaald, ‘hoe hoog de buis ook is’. Hij tracht deze verrassingen te verklaren door – in tegenstelling tot zijn eerdere verklaringspoging bij Pascals proeven – aan te nemen dat lucht uit zichzelf uitzet: ‘de lucht zet zich uit eigen kracht (‘sponte’) en uit zichzelf uit in de buis’. Zou die spontane uitzetting slechts voor lucht in een buis met kwik gelden of ook voor die in de atmosfeer? Roberval realiseert zich dat in dat laatste geval de druk van de buitenlucht verantwoordelijk is voor de kwikkolom in de buis van de klassieke proef. Om de 3 gekoppelde verklaringspogingen ‘lucht kan zich niet in de atmosfeer uitzetten’, ‘lucht kan zich overal uitzetten’ en dus ook ‘de druk van de buitenlucht houdt de kwikkolom onder een leegte op 2 7/24 voet’ na te trekken doet hij die proef in een vacuüm. Dat heet een ‘vacuüm in vacuüm’-proef. Dat wil zeggen, hij doet de klassieke proef van Torricelli in de leegte van een andere (en dus grotere) proefopstelling van Torricelli. Hij vraagt zich namelijk af: ‘Als de buitenlucht die op het kwik in de bak drukt, door één of andere kunstgreep óf meer verdund óf meer verdicht is, zal deze hoogte van 2 7/24 voet dan behouden blijven?’. Vóór de uitkomst van de proef zelf meent hij: ‘Als de buitenlucht meer verdund was zodat hij minder op de vloeistof in de bak drukte, zou de vloeistof in de buis onder de [hoogte van 2 7/24 voet] moeten zakken; als de buitenlucht daarentegen zich verdichtte zodat hij meer op de vloeistof in de bak drukte, dan zou de vloeistof in de buis hoger in de buis stijgen’. Deze stelling nu ‘werd geheel bevestigd door de proef’. Wanneer hij alle lucht uit de buitenste buis haalt (hij schrijft niet hoe hij dat doet; de Fransman Noël in zijn beschrijving van 1648 wel, namelijk door de opstelling eerst geheel met kwik te vullen en vervolgens om te keren, in een kwikbak te houden en de opening aldaar te openen), daalt de kwikkolom in de binnenste buis, waarbinnen dan immers - net als in de binnenste buis - een vacuüm heerst, tot 0 voet. Wanneer hij daarentegen lucht in de leegte van de buitenste buis laat, stijgt de kwikkolom in de binnenste buis naar zijn gebruikelijke hoogte. Omgekeerd, als hij de druk in de buitenste buis opvoert, ‘stijgt de vloeistof van de buis tot boven de gebruikelijke hoogte, meer of minder al naar gelang de meer of minder grote verdichting’. Daarmee wordt Torricelli’s voorspelling in zijn brief van 28 juni 1644 aan Ricci bewaarheid. Over de klassieke proef in een afgesloten ruimte stelt hij namelijk: ‘Als de lucht die je [in die ruimte] insluit, meer verdund is dan de lucht erbuiten, dan zal het metaal dat blijft hangen [bedoeld is de staande kwikkolom; EV] navenant dalen; als de lucht nu oneindig verdund zou zijn, dat wil zeggen een vacuüm, dan zou het metaal helemaal dalen’.[20]
Pascal, die óf de ‘vacuüm in vacuüm’-proef al eerder dan Roberval heeft gedaan óf van diens versie heeft vernomen, vindt de uitkomst van die proef niet doorslaggevend: de ‘horror vacui’-hypothese kan die proef net zo goed verklaren als de ‘gewicht en druk van de lucht’-hypothese. Daarom zoekt hij naar een ‘beslissende proef’. Hij kan er maar één bedenken en die ligt in de lijn van de voorspelling van Torricelli, in zijn brief van 11 juni 1644 aan Ricci, dat de kwikkolom in de klassieke proef aan de voet van een berg hoger is dan op de top: ‘Het gewicht [van de lucht, namelijk ongeveer een vierhonderdste deel van het gewicht van water], geldt voor de onderste delen van de atmosfeer waar mensen en dieren leven, maar op de toppen van hoge bergen begint de lucht zuiverder te worden en minder te wegen dan het vierhonderdste deel van het gewicht van water’. Pascals voorstel luidt: ‘de gebruikelijke vacuümproef diverse keren op dezelfde dag doen, in eenzelfde buis, met hetzelfde kwik, de ene keer aan de voet van een berg die ten minste 500 of 600 vadems [975 of 1170 meter; EV] hoog is, de andere keer op de top ervan om na te gaan of de hoogte van het kwik in de buis zich hetzelfde zal gedragen in beide situaties of verschillend’. Gelijk gedrag pleit voor de ‘horror vacui’-hypothese en verschillend gedrag voor de buitenluchthypothese, ‘daar het immers zeker is dat er meer lucht is die drukt op de voet van de berg dan op zijn top in plaats van dat men zou kunnen zeggen dat de natuur het vacuüm aan de voet van de berg meer verafschuwt dan op zijn top’. Pascal vraagt zijn schoonbroer Périer (1605-1672), die in Clermont, dus dicht bij de Puy de Dôme (hoogte nu: 1465 meter), woont, deze berg te bestijgen om met de benodigde apparatuur (kwik, buizen enzovoort) de ‘grote proef over het evenwicht van de vloeistoffen [in die tijd geldt lucht als een vloeistof; EV] te doen’. Op 19 september 1648 lopen Périer en 4 anderen naar de top van de Puy de Dôme. Bij het klooster van de paters Minderbroeders, op het laagste punt van Clermont, komt het kwik tot ‘26 duim en 3½ lijnen’. Op de top, die Périer schat op ‘ongeveer 500 vadems’ [975 meter; EV] boven het klooster, vindt hij in meer dan 5 proeven voor de kwikkolom een hoogte van ’23 duim en 2 lijnen’, ‘wat ons allemaal verrukte van bewondering en verbazing’. Halverwege de afdaling doet hij de proef nog enkele malen en vindt hij telkens ’25 duim’, dus tussen beide andere waarden. Er blijft een klassieke opstelling de hele dag bij het klooster. Een pater rapporteert ’s avonds dat de kwikkolom op ‘26 duim en 3½ lijnen’ is blijven staan. Périer verwerpt daarom ‘weersverandering’ als verklaringspoging voor zijn verschillende hoogtes: ‘Geen enkele verandering gedurende de hele dag, hoewel het weer zeer wisselvallig was geweest, nu eens helder, dan weer regenachtig, vol nevels of winderig’. Op grond van deze en enkele andere metingen, ook van Pascal onder meer bovenin een kerktoren in Parijs, concludeert Pascal: ‘De natuur heeft geen enkele afkeer van de leegte […] en alle effecten die men aan deze afkeer heeft toegeschreven, komen voort uit het gewicht en de druk van de lucht’.[21]
Voor Pascal is de zaak in 1648 rond, maar voor anderen nog lang niet. Onder meer Descartes is zeker niet blij met de bevindingen van Pascal, over wie hij in 1647 in een brief aan Huygens schrijft dat hij ‘te veel vacuüm in zijn hoofd’ zou hebben. De Fransman Pecquet (1622-1674) oppert in 1651 de gedachte dat de lucht aan het aardoppervlak samengedrukt wordt door het gewicht van de erboven gelegen lucht en introduceert de term ‘elater’, ‘veerkracht’, voor de neiging van de lucht om uit te zetten. Die term ‘elater’ wordt ook door Boyle gebruikt in zijn boek van 1660. Waarschijnlijk verneemt deze voor het eerst van Torricelli’s proef in een brief van ene Hartlib van 9 mei 1648. In 1654 vestigt Boyle zich in Oxford. Daar richt hij een eigen laboratorium op. Zijn assistent de Engelsman Hooke (1635-1703) verbetert er de luchtpomp die door de Duitser Von Guericke (1602-1686) is uitgevonden – die geschiedenis laten we hier rusten, maar is, naar het zich laat aanzien, eveneens volgens de onderzoekscyclus gegaan. Aldus kunnen Boyle en Hooke ruimtes die groter zijn dan die in de klassieke proef, bijna leeg maken en nieuwe proeven uitvoeren. In proef 1 verwijst Boyle naar Périers ‘Puy de Dôme’-proef die door een ‘grote virtuoso’ in Engeland is herhaald. Die aanduiding verwijst naar de Engelsman Ball (1627-1690) die tussen oktober 1659 en februari 1660 kwik- en vacuümproeven doet. Boyles beroemdste proef uit die tijd is een ‘vacuüm in vacuüm’-proef. Zijn verklaringspoging voor de kwikkolom van ‘ongeveer 27 duim’ in de klassieke proef luidt: ‘De kwikkolom in de buis verkeert in evenwicht met de luchtkolom waarvan wordt aangenomen dat hij van het aangrenzende kwik [in de bak waarin de buis rust; EV] tot aan de top van de atmosfeer reikt’. Om de ‘Puy de Dôme’-proef in een laboratoriumopstelling te herhalen doet hij de klassieke proef in een ruimte die hij met zijn luchtpomp geleidelijk leegpompt: ‘Als de proef in onze machine gedaan zou kunnen worden, zou het kwik onder 27 duim zakken, naar verhouding van de uitzuiging van de lucht die uit de ruimte gedaan zou moeten worden’. Hij plaatst de klassieke proefopstelling in een ruimte die hij vervolgens afsluit. Het blijkt dat de kwikkolom zijn stand behoudt; Boyle: ‘De ingesloten lucht lijkt invloed te hebben op het kwik, meer door zijn veerkracht dan door zijn gewicht’. Daartoe acht hij het gewicht van de lucht boven het kwik in de bak maar in de afgesloten ruimte te gering. Hij verwerpt dus ‘gewicht van de lucht’ als wijkende verklaringspoging voor de kwikkolom en acht de wijkende verklaringspoging ‘luchtdruk’ houdbaar. Zodra er lucht uit de afgesloten ruimte wordt gezogen, ‘zakte, volgens verwachting, het kwik in de buis’. Boyles verklaringspoging voor de eerste-orde-verrassing wordt dus bevestigd. Na ongeveer een kwartier pompen blijft de kwikkolom op hetzelfde nivo staan, zonder dat 0 duim wordt bereikt, alle doorpompen ten spijt. Deze verrassing verklaart Boyle met de aanname dat ‘lucht (ondanks wat we ook zouden kunnen doen) langs een of andere kleine toegang binnen zou dringen’. Die verklaringspoging wordt later bevestigd door maatregelen om mogelijke lekpunten te dichten, die beter blijken te zijn vanwege de dichtere nadering tot 0 duim. Om na te trekken of het evenwicht tussen de kwikkolom en de luchtkolom daadwerkelijk de empirische verklaring is, laat hij telkens weer een beetje lucht binnen. En inderdaad: ‘Het kwik begon onmiddellijk in de buis te stijgen (of liever opwaarts gedreven te worden) en bleef stijgen, totdat het, na het omdraaien van de sleutel [om lucht al dan niet binnen te laten; EV], onmiddellijk bleef rusten op de hoogte die het dan had bereikt’, enzovoort bij een herhaald openen en sluiten van de sleutel. Hieruit blijkt dus de omkeerbaarheid van Boyles opereren met de luchtdruk in de afgesloten ruimte: openen versus sluiten van de sleutel blijkt te correleren met stijgen versus stabiliseren van de kwikkolom. Als de sleutel definitief open blijft staan, doet zich opnieuw een verrassing voor: ‘[Het opwaarts drijven] hield bijna een kwart duim beneden [de 27 duim] op’. De kwikkolom komt dus slechts tot 26¾ duim. Boyle: ‘We schreven dit daaraan toe dat er (zoals gebruikelijk is in deze proef) enige luchtdeeltjes tussen die van het kwik zitten, welke deeltjes tijdens de daling van het kwik duidelijk in bubbels opstegen naar de top van de buis’ – gezien het woord ‘toeschrijven’ beseft Boyle kennelijk dat hij een verklaringspoging geeft. Die acht hij overigens houdbaar aangezien hij het opstijgen van luchtbelletjes heeft waargenomen. In deze ruimte daalt het kwik bij de eerste zuiging 1⅜ duim en bij de tweede eveneens. Als hij de ‘vacuüm in vacuüm’-proef met andere ruimtes herhaalt, wordt hij echter door iets verrast: ‘Dit is merkwaardig, namelijk dat terwijl we de proef 2 of 3 keer in een kleine ruimte hebben gedaan, het kwik tijdens de allereerste luchtkolom die uit de ruimte werd betrokken, in de buis 18½ duim viel en in een andere proef 19½ duim’. Ten opzichte van de eerdere daling met 1⅜ duim beschouwt hij dit om begrijpelijke redenen als een voordeel dat hij preciezer zou willen bepalen: ‘Ik hoopte uit de daling van het kwik in de buis tijdens de eerste zuiging dit voordeel af te leiden; zodat ik voortaan in staat gesteld zou zijn om een nauwkeurigere gok te doen omtrent de verhouding of kracht tussen de luchtdruk […] en de zwaarte van het kwik, dan tot nu toe was gedaan’. In deze laatste 2 citaten blijkt Boyle in 1660 dus te beschikken over een kwalitatieve versie van zijn kwantitatieve wet van 1662 (die luidt dat druk maal volume van gas in een afgesloten ruimte constant is, als de temperatuur constant blijft, het latere pV=C bij constante T). Hij beschikt daar in 1660 echter op indirecte wijze over, namelijk slechts voor de hoeveelheid lucht die in één keer uit een ruimte gezogen kan worden. Tot hier is niet gesteld dat de kwestie ‘echte versus schijnbare leegte’ veel meer complicaties heeft dan hierboven vermeld. Voor het aantonen van de geldigheid van de onderzoekscyclus voor de wet van Boyle is dat ook niet nodig, aangezien de aanhangers van de hypothese dat de zichtbare leegte bovenin de buis van Torricelli met een of andere onzichtbare stof is gevuld, (vrijwel) altijd een pad bewandelen, dat niet naar de wet van Boyle voert. In dat geval maken hun werk en hypothese dus geen onderdeel uit van de genese van die wet. Het is daarom des te instructiever om op te merken dat en hoe Boyle met dit punt omgaat. Hij behandelt het als een onderwerp dat hij metafysisch noemt, in de zin van ‘niet toegankelijk voor empirisch onderzoek’. Zo zou volgens sommigen licht niet in een vacuüm kunnen bestaan en wel een materiële drager nodig hebben, bijvoorbeeld onzichtbare ‘subtiele materie’. Boyle beschouwt de ‘controverse over een vacuüm’ echter ‘meer als een metafysische dan [fysische] kwestie’. We hebben dat eerder bij Pascal gezien, in zijn eis dat een concept voor waarneming toegankelijk moet zijn: ‘Na te hebben aangetoond dat geen van de stoffen die onder onze zintuiglijke waarnemingen vallen en waarvan we het bestaan kennen, deze schijnbaar lege ruimte vullen, zal het, totdat men me het bestaan heeft aangetoond van een of andere stof die haar vult, mijn gevoelen zijn dat ze werkelijk leeg is en beroofd is van alle materie’.[22]
We komen nu in de slotfase: de wet van Boyle van 1662. Zoals Boyle in 1660 een kwalitatief pre-pV=C-verband heeft, zo hebben anderen dat al in 1648. Zoals we hebben gezien krijgt Roberval zo’n pre-verband als hij 1,5 duim lucht binnenlaat in buizen van verschillende lengte: hoe langer de buis hoe minder het kwik door 1,5 duim lucht daalt, maar hoe korter de buis hoe meer de daling van het kwik is. En Pascal en Périer hebben zo’n pre-verband in Périers meetpunten op de Puy de Dôme, waaronder de 3 hierboven vermelde: 26 duim en 3½ lijnen aan de voet, 25 duim halverwege en 23 duim en 2 lijnen op de top. Wat is bij Boyle dus de aanleiding om van het kwalitatieve verband van 1660 tot het kwantitatieve verband van 1662 te komen? Dat is een aanval van de Engelsman Line (1595-1675) in 1661. Deze doet de klassieke proef met een buis die aan beide kanten open is. Elk van beide openingen sluit hij met een vinger af. Op het moment dat hij de onderste vinger weghaalt als die kant in een bak kwik staat, voelt hij dat de vingertop aan de bovenkant de buis in wordt gezogen tijdens het dalen van het kwik. Ter verklaring van deze verrassing neemt hij aan dat er zich in de schijnbare leegte onzichtbare touwtjes (‘funiculi’) bevinden. De kwikkolom zou als het ware aan die touwtjes hangen. Voor de ‘vacuüm in vacuüm’-proef neemt Line onder meer aan dat Boyles veronderstelde veerkracht van de buitenlucht weliswaar bestaat, maar onvoldoende is: die touwtjes zouden de rest doen en een onmisbaar deel van de verklaring voor die proef zijn. Dit plaatst Boyle voor de uitdaging aan te tonen dat de veerkracht van de lucht nodig én voldoende is om de waargenomen verschijnselen te verklaren. Om te beginnen haalt Boyle 2 van zijn assistenten aan, die de ‘Puy de Dôme’-proef hebben herhaald: de Engelsen Ball en Townley (1628-1707). Omdat de eerste nauwelijks of niet (namelijk afhankelijk van de vraag of Boyle met ‘grote viruoso’ op Ball doelt of niet; zie noot 22) van invloed is geweest op de genese van de wet van Boyle, bepalen we ons tot Townley. Hij brengt een belangrijke wijziging aan in de ‘Puy de Dôme’-proef, en wel door die te kruisen met een element uit Robervals werk, namelijk het omkeren van een buis met kwik én lucht. Op 27 april 1661 doen Townley, de Engelsman Power (1623-1668) en nog 3 anderen op de Pendleheuvel (voet op 750 voet; top op 1851 voet) in Lancashire de volgende 2 proeven. a. Ze nemen op de top een halfopen buis van 42 duim, die in 102 gelijke delen is verdeeld, vullen de buis met 51,85 delen kwik en 50,15 delen lucht, sluiten het open eind af met een vinger, zetten het geheel in een kwikvat en verwijderen de vinger. Het kwik daalt dan tot 11,26 duim (Power geeft niet aan waarom ze dit in duim uitdrukken in plaats van in aantal delen), terwijl de lucht nu 84,75 delen bezet. Aan de voet van de heuvel vullen ze de buis op dezelfde manier, maar daalt het kwik tot 11,78 duim en bezet de lucht 83,8 delen. b. In een buis van 26 duim, die ze in 31,5 gelijke delen verdelen, doen ze op de top 22,5 delen kwik en 9 delen lucht. In het kwikvat daalt het kwik tot 13,86 duim en bezet de lucht 17,8 delen. Ze nemen deze buis met berglucht en al naar beneden. Aan de voet van de heuvel daalt het kwik tot 14,31 duim en zijn 17,35 delen gevuld met lucht. Het gezelschap trekt niet uitdrukkelijk een conclusie maar het is duidelijk dat in beide buizen de ingesloten lucht het kwik minder verlaagt aan de voet van de heuvel dan aan de top. Ze spreken van ‘4 evenredigheidstermen’: ‘Als er 3 daarvan zijn gegeven, kun je de vierde achterhalen, door conversie, transpositie en deling van die 3. Zodat je door deze analogieën de effecten die in alle kwikproeven volgen, kunt voorspellen […] door berekening’. Met ‘conversie, transpositie en deling’ wordt bedoeld dat men – in hedendaagse termen – bijvoorbeeld uit de maten voor p1, V1 en V2 (11,26 duim, 84,75 delen respectievelijk 83,8 delen) p2 kan voorspellen met de berekening (11,26x84,75)/83,8 = 11,39 duim, wat de empirische waarde 11,78 duim zou moeten voorspellen. Boyle, die spoedig na 27 april 1661 dit resultaat verneemt, verklaart het op kwalitatieve wijze: ‘Daar de kolom van de [buiten]lucht op de top van de heuvel korter en lichter was, drukte hij niet zo sterk tegen de ingesloten lucht als de omringende lucht aan de voet van de heuvel waar de luchtkolom langer en zwaarder was’. Hij is nu in staat Lines hypothese dat de veerkracht van de lucht ‘heel onvoldoende is om […] tegenwicht te bieden aan een kwikkolom van 29 duim’, te weerleggen, namelijk door Powers en Townley’s drukverhoging en volumeverlaging bij het afdalen van de heuvel kunstmatig na te bootsen: ‘We zullen nu trachten duidelijk te maken met opzettelijk uitgevoerde proeven dat de veerkracht van de lucht in staat is veel meer te doen dan dat het voor ons noodzakelijk is om er de verschijnselen van de proef van Torricelli aan toe te schrijven en ermee op te lossen’. Ik vermoed dat hij met ‘veel meer dan noodzakelijk’ op het kwantitatieve verband doelt, want een kwantitatief verband is inderdaad meer dan wat strikt nodig is voor het aanvaarden dan wel verwerpen van een kwalitatieve verklaringspoging. Daartoe laat Boyle een J-vormige buis vervaardigen. Het korte deel is afgesloten en krijgt een schaal van 48 gelijke delen. Door de opening van het lange deel giet hij zoveel kwik dat de kwiknivo’s in beide delen even hoog staan én het nivo in het korte deel op de 48e maatstreep staat, door namelijk wat lucht uit de gesloten ruimte te laten ontsnappen. Dan giet hij in het lange deel net zoveel kwik bij, dat het in het korte deel op de 24 e maatstreep staat. Het volume is dan dus gehalveerd. Boyle: ‘We namen, niet zonder genoegen en voldoening, waar dat het kwik in dat langere deel van de buis 29 duim hoger stond dan in het andere deel’. Voor die tevredenheid heeft Boyle 2 redenen. (i) Zijn kwalitatieve hypothese wordt bevestigd: ‘Deze waarneming komt heel goed overeen met onze hypothese en bevestigt haar’. (ii) Er doet zich een nieuwe verrassing voor. Die 29 duim betekent immers dat de druk van de lucht in de gesloten ruimte het dubbele is van de druk van de buitenlucht alleen. Als het kwiknivo op 48 staat, bedraagt de druk immers slechts de druk van de buitenlucht die, zoals bekend is van de klassieke proef, met een kwikkolom van 29 duim overeenkomt. Als het kwik in het korte deel op 24 staat, is de kwikkolom in het lange deel ook 29 duim. De lucht in de gesloten ruimte ondervindt dan dus feitelijk een druk die overeenkomt met een kwikkolom van 29+29 = 58 duim. In hedendaagse termen: terwijl het volume van de afgesloten lucht is gehalveerd, is zijn druk gestegen van 1 naar 2 atmosfeer; Boyle: ‘Dezelfde lucht die tot een dichtheidsgraad wordt gebracht die ongeveer 2 keer zo groot is dan hij tevoren had, verkrijgt een veerkracht die 2 keer zo sterk is als voordien’. Is die dubbele 2 toevallig of berust ze op een natuurkundige wetmatigheid? Boyle neemt vooralsnog het laatste aan en oppert een nieuwe verklaringspoging: de ‘hypothese die aanneemt dat de drukken en uitbreidingen [volumes; EV] in wederkerige verhouding zijn’. De buis breekt, maar al spoedig doet hij de proef met een andere J-buis. Hij vindt de resultaten als in de eerste tabel. Kolom A geeft de maatstreep van het kwik in het korte deel van de J-buis – dit staat feitelijk voor het volume. Kolom B geeft het aantal duim van de kwikkolom in het lange deel. Kolom C, die hier niet is weergegeven, staat voor de druk van de buitenlucht, die met een kwikkolom van 29 1/8 duim overeenkomt. Kolom D geeft de totale druk weer, dus de waarde in B + 29 1/8 duim. Kolom E geeft in duim weer ‘wat de druk zou zijn volgens de hypothese’. Bijvoorbeeld en in hedendaagse termen, de eerste rij, bij maatstreep 48, staat voor volume V en een druk van 1 atmosfeer (29 1/8 duim). Evenzo staat de rij bij maatstreep 24 voor ½V en een druk van 2 atmosfeer (58 13/16 duim), de rij bij maatstreep 16 voor ⅓V en een druk van 3 atmosfeer (87 14/16 duim) en de rij bij maatstreep 12 voor ¼V en een druk van 4 atmosfeer (117 9/16 duim).

A B D E
48 0 29 2/16 29 2/16
46 1 7/16 30 9/16 30 6/16
44 2 13/16 31 15/16 31 12/16
42 4 6/16 33 8/16 33 1/7
40 6 3/16 35 5/16 35
38 7 14/16 37 36 15/19
36 10 2/16 39 5/16 38 7/8
34 12 8/16 41 10/16 41 2/17
32 15 1/16 44 3/16 43 11/16
30 17 15/16 47 1/16 46 3/5
28 21 3/16 50 5/16 50
26 25 3/16 54 5/16 53 10/13
24 29 11/16 58 13/16 58 2/8
23 32 3/16 61 5/16 60 18/23
22 34 15/16 64 1/16 63 6/11
21 37 15/16 67 1/16 66 4/7
20 41 9/16 70 11/16 70
19 45 74 2/16 73 11/19
18 48 12/16 77 14/16 77 2/3
17 53 11/16 82 12/16 82 4/17
16 58 2/16 87 14/16 87 3/8
15 63 15/16 93 1/16 93 1/5
14 71 5/16 100 7/16 99 6/7
13 78 11/16 107 13/16 107 7/13
12 88 7/16 117 9/16 116 4/8

Gezien de vrij nauwe overeenstemming tussen de empirische waarden in kolom D en de theoretisch voorspelde waarden in kolom E acht Boyle de hypothese houdbaar. Bovendien blijkt eens te meer dat Lines touwtjeshypothese niet kan kloppen want die touwtjes doen er in de proef niet toe omdat ze de kwikkolom onder de leegte trachten te verklaren en niet een kwikkolom in een open buis. Townley, die van Boyles resultaat verneemt, is nog niet geheel tevreden. Immers, weliswaar wordt in zijn variant van de ‘Puy de Dôme’-proef met lucht boven de kwikkolom, die lucht steeds meer samengedrukt tijdens de afdaling, maar de druk van de lucht in de vrije atmosfeer daalt als men in een luchtkolom opstijgt vanaf het aardoppervlak. Boyle: ‘Welnu, als we aan wat we aldus hebben meegedeeld betreffende de samendrukking van de lucht, enkele waarnemingen toevoegen betreffende zijn spontane uitzetting, zal het des te beter blijken hoezeer de verschijnselen van deze kwikproeven afhangen van de krachtmaten die in de veerkracht van de lucht worden aangetroffen. […] Townley had getracht […] aan te vullen wat ik had weggelaten betreffende het terugbrengen tot een nauwkeurige maat betreffende hoeveel van zijn veerkracht lucht die van zichzelf uitzet, verliest’. Omdat het volume van de ingesloten lucht nu groter zal worden, neemt Boyle een lange J-buis, van ongeveer 72 duim (6 voet). In het begin heeft de lucht in het afgesloten deel een hoogte van bijna 1 duim. De resultaten staan in de tweede tabel. Kolom A geeft de maatstreep van het kwik in dat deel van de J-buis, waarin de ingesloten lucht zich bevindt (1 maatstreep staat voor ‘bijna 1 duim’) – dit staat opnieuw voor het volume. Kolom B geeft het aantal duim van de kwikkolom in het afgesloten deel. Kolom C, hier weerom niet weergegeven, staat voor de druk van de buitenlucht, die met een kwikkolom van 29 3/4 duim overeenkomt. Kolom D geeft de totale druk weer, dus 29 3/4 duim minus de waarde in B. Kolom E geeft in duim weer ‘wat de druk zou zijn volgens de hypothese’. Bijvoorbeeld en in hedendaagse termen, de eerste rij, bij maatstreep 1, staat voor volume V en een druk van 1 atmosfeer (29 3/4 duim). Op dezelfde wijze staat de rij bij maatstreep 2 voor 2V en een druk van ongeveer ½ atmosfeer (14 3/8 duim), de rij bij maatstreep 10 voor 10V en een druk van ongeveer 1/10 atmosfeer (3 duim) en de rij bij maatstreep 32 voor 32V en een druk van ongeveer 1/32 atmosfeer (1 2/8 duim). Die laatste waarneming verklaart waarom de buis ongeveer 72 duim moet zijn: de luchtkolom is dan 32 x ‘bijna 1 duim’ en de kwikkolom 28,5 duim – samen bijna 60,5 duim.

A B D E
1 0 29 3/4 29 3/4
1 1/2 10 5/8 19 1/8 19 5/6
2 15 3/8 14 3/8 14 7/8
3 20 2/8 9 4/8 9 11/32
4 22 5/8 7 1/8 7 7/16
5 24 1/8 5 5/8 5 19/20
6 24 7/8 4 7/8 4 26/27
7 25 4/8 4 2/8 4 1/4
8 26 3 6/8 3 23/32
9 26 1/8 3 3/8 3 11/86
10 26 6/8 3 2 19/40
12 27 1/8 2 5/8 2 23/48
14 27 4/8 2 2/8 2 1/8
16 27 6/8 2 1 55/64
18 27 7/8 1 7/8 1 47/72
20 28 1 6/8 1 9/80
24 28 2/8 1 4/8 1 23/96
28 28 3/8 1 3/8 1 1/16
32 28 4/8 1 2/8 0 115/128

Inderdaad neemt de druk van de ingesloten lucht omgekeerd evenredig af met de toename van het volume. En inderdaad nadert de lengte van de kwikkolom naar die in de klassieke proef van Torricelli met een werkelijke leegte boven het kwik, 29 3/4 duim, namelijk naar 28 4/8 duim bij een 32 maal zo groot volume als in het begin. Lines touwtjeshypothese is nu helemaal verworpen: de veerkracht van de lucht is nodig én voldoende om het gedrag van de leegte en de kwikkolom te verklaren.[23]
Voor drukken tussen 0,042 en 4 atmosfeer (overeenkomend met 1 2/8 duim in kolom D van de tweede tabel respectievelijk 117 9/16 duim in kolom D van de eerste tabel) aan de ene kant en voor volumina tussen 32 en ¼ van het oorspronkelijke volume aan de andere kant, is de wet van Boyle in 1662 dus een feit. Deze wet wordt dan formeel geformuleerd in woorden: ‘de drukken en uitbreidingen [volumes; EV] zijn in wederkerige verhouding’. Ik weet niet wanneer dit formeel-operationele verband voor het eerst in de geschiedenis is gegoten in een formule als ‘pV=C (bij constante temperatuur T)’, maar op grond van een heel globale zoektocht vermoed ik dat dat tussen 1802 en 1816 is gebeurd. Enerzijds drukt de Fransman Gay-Lussac in zijn artikel van 1802, waarin hij de huidige ‘volumewet van Gay-Lussac’ presenteert, de wet van Boyle slechts in woorden uit en niet als formule: ‘de lucht verdicht zich precies naar de verhouding van de gewichten waardoor hij wordt samengedrukt’. Anderzijds zijn de oudste formules van de wet van Boyle die ik ben tegengekomen, die van Biot in 1816: ‘V´/V = p/p´’ (p = eerste druk; V = eerste volume; p´ = tweede druk; V´ = tweede volume) en ‘als v het volume is […] kan men het door een berekening terugbrengen tot een constante druk, bijvoorbeeld tot die van 0,76 meter, en volgens de [wet van Boyle] zal het vp/0,76 worden’ (p = hoogte van de kwikkolom). Hoe dan ook, uit welk jaar ook maar de eerste formule stamt, vanaf dan kunnen we spreken van de geformulariseerd-operationele fase in de genese van de wet van Boyle.[24]
Bij het schrijven van ‘Statistiek en de statistieken’ stond Clausius’ artikel van 1858 me niet ter beschikking. In aanvulling op het weinige dat ik daar toen over heb geschreven, het volgende. De Nederlander Buys-Ballot (1817-1890) noemt 3 verschijnselen die volgens hem tegen Clausius’ theorie van 1857 spreken: in stilstaande lucht en in de vrije lucht verspreidt tabaksrook zich langzaam; ‘Als in een hoek van een kamer zwavelwaterstof- of chloorgas wordt ontwikkeld, dan verstrijken hele minuten voordat men het in de andere hoek ruikt terwijl toch de gasdeeltjes de kamer in één enkele seconde honderden malen zouden hebben moeten doorlopen’; koolzuurgas blijft lange tijd in een open vat. Voor hem wijzen deze verschijnselen er dus op dat Clausius’ theorie van 1857 niet verankerbaar is. Clausius zelf ziet er echter 3 hogere-orde-verrassingen in, die dus een hogere-orde-verklaringspoging vergen. Daartoe definieert hij de ‘werkingssfeer’ van een gasmolekuul, namelijk als die bol rond een molekuul, waarbinnen een ander molekuul door dat molekuul wordt afgestoten. Op basis hiervan werkt hij zijn theorie uit, eerst voor 1 molekuul terwijl de rest bewegingloos is en dan voor 1 molekuul terwijl de andere eenzelfde snelheid hebben. Onder de verdere aanname dat een molekuul puntvormig is, bepaalt hij de ‘waarschijnlijkheid daarvoor dat het punt een laag van dikte x vrij doorloopt zonder de werkingssfeer van een molekuul te raken’. Daaruit berekent hij de ‘gemiddelde weglengte’ van dat ene molekuul. De grootte van de gemiddelde weglengte is zoveel geringer dan de weglengte per tijdseenheid dat het ‘verklaarbaar is waarom rookwolken in rustige lucht hun gestalte slechts langzaam veranderen’. Op vergelijkbare wijze kunnen de andere voorbeelden van Buys-Ballot worden verklaard, waardoor dat voor Clausius geen tegenvoorbeelden maar voorbeelden zijn van zijn inmiddels in voornoemde zin uitgebreide theorie. Tevens oppert hij een verklaringspoging voor Buys-Ballots zienswijze: ‘Misschien kon men van één plaats die voorkomt in de wiskundige ontwikkeling die aan mijn vroegere verhandeling is bijgevoegd, zeggen dat ze aanleiding zou geven tot zo’n voorstelling’. Kortom, de interactie tussen Buys-Ballot en Clausius in 1858 laat 2 geldigheidsfacetten van de onderzoekscyclus zien: wat voor de één voor onhoudbaarheid pleit, is voor de ander vooralsnog een hogere-orde-verrassing; bij gebleken houdbaarheid van een verklaringspoging kan men (soms of altijd – dat is me op dit ogenblik onduidelijk en kan vooralsnog in het midden blijven) verklaren waarom de tegenstander van een theorie denkt zoals hij denkt.[25]
Die verhouding tussen ‘niet-verankerd’ en ‘hogere-orde-verrassing’ komt ook voor in Maxwells eerste stochastisch-natuurkundige artikel van 1860. Over zijn formule (24) schrijft hij: ‘Een opmerkelijk resultaat, ons hier geboden in vergelijking (24), is dat als deze verklaring voor de wrijving van een gas waar is, de wrijvingscoëfficiënt onafhankelijk is van de dichtheid. Zo’n gevolg van een wiskundige theorie is erg opzienbarend’. Hij is dus zeer verrast, maar er is meer, want hij laat er meteen een vraag op volgen. Hij vraagt zich namelijk af of zijn theorie, die dat ‘opzienbarende gevolg’ lijkt te hebben, toch niet verworpen zou dienen te worden: ‘het enige experiment dat ik over het onderwerp ben tegengekomen, lijkt het niet te bevestigen’.[26]
Kortom, zowel in de genese van de kwantitatieve wet van Boyle als in Clausius’ reactie op Buys-Ballots tegenwerping en in Maxwells eigen tegenwerping tegen zichzelf blijkt de onderzoekscyclus de rode draad te zijn, namelijk in verband met het onderwerp ‘wijken van het verklaren’ respectievelijk de afweging tussen het verwerpen van een verklaringspoging aan de ene kant en het aanvaarden ervan met het verrast worden op een hoger nivo aan de andere kant.  

E. Algehele conclusie
De conclusie van ‘Statistiek en de statistieken’ (noot 1) hoeft niet uitgebreid te worden en wordt juist versterkt in dit eerste statistische supplement: de beschrijvende statistiek, de kansrekening, de verzekeringswiskunde, de meetfouttheorie en de stochastische natuurkunde zijn wetenschappelijk van aard en worden dus terecht aan de universiteiten beoefend. Met de inductieve statistiek is geen beide het geval. Tenzij alsnog het tegendeel blijkt, dient zij niet meer aan de universiteiten beoefend te worden en dienen onderzoeksprogramma’s in haar geest óf in wetenschappelijke zin omgebouwd te worden óf van de universiteiten verwijderd te worden.
Door de gebleken geldigheid van de onderzoekscyclus voor de genese van de formule voor de wet van Boyle komt daar nu bij dat eens te meer blijkt hoe zinloos en leeg de formules van de inductieve statistiek zijn en dus ook de erop gebaseerde berekeningen en conclusies als men die bijvoorbeeld trekt bij het aannemen dan wel afwijzen van een sollicitant of van een aangemelde leerling. Immers, de geformulariseerde wet van Boyle van na 1662 is eenvoudig: pV=C (bij constante temperatuur T) – 2 grootheden, i.c. druk en volume, vormen samen een constant product. En toch is voor die eenvoudige formule de onderzoekscyclus vanaf bijvoorbeeld Baliani’s verrassingen van 1630 vele malen doorlopen: Torricelli’s klassiek geworden proef met kwik, Pascals proeven met wijn en water, de ‘Puy de Dôme’-proef, de ‘vacuüm in vacuüm’-proef, Robervals binnenlaten van lucht in de klassieke proef, Powers en Townley’s kruising van de ‘Puy de Dôme’-proef en Robervals binnenlaten van lucht, Boyles verwerpen van Lines touwtjeshypothese, Townley’s suggestie om Boyles kwantitatieve verband ook na te trekken voor drukken lager dan 1 atmosfeer, om me maar tot deze stappen te beperken. Vergelijken we dit met de inductieve statistiek dan lopen 2 zaken onmiddellijk in het oog.
Ten eerste, als men in de formules van de inductieve statistiek verklaringspogingen zou willen zien, moet men meteen opmerken dat ze nog nooit empirisch zijn nagetrokken. Nemen we naast de formule tegen het slot van D.V 2 andere voorbeelden. In de Nederlandse Persoonlijkheidsvragenlijst (NPV) wordt iemands verongelijktheidsscore SVE bepaald met 19 items. Op elk kan men ‘juist’, ‘?’ of ‘onjuist’ antwoorden, wat 3, 2 respectievelijk 1 punten oplevert, zodat de eindscores kunnen oplopen van 19 naar 57 (19 ≤ SVE ≤ 57). Dan is de formule voor de verongelijkheidsscore SVE de eerste hieronder. Of nemen we iemands score op één van de 5 dimensies in de Grote Vijf, TGV. Op elk item kan men met ‘helemaal oneens’, ‘oneens’, ‘eens noch oneens’, ‘eens’ of ‘helemaal eens’ reageren, waarvoor men een bepaald aantal punten krijgt (waarschijnlijk 1, 2, 3, 4 of 5 in deze of omgekeerde volgorde; ik heb niet de moeite genomen dat na te gaan – het gaat om de gedachte). Stel dat die dimensie met 10 items wordt bepaald (ook dit ben ik om dezelfde reden niet nagegaan), dan is de formule voor TGV de tweede hieronder (dus 10 ≤ TGV ≤ 50).

SVE = ∑(over i van 1 tot en met 19) si (si = 1,2,3);

TGV = ∑(over j van 1 tot en met 10) tj (tj = 1,2,3,4,5).

De gedachtes in en achter deze formules zijn op z’n best verklaringspogingen, precies zoals het nog slechts verbale (in plaats van reeds geformulariseerde) pV=C-verband ook voor Boyle gedurende enige tijd een verklaringspoging is geweest. Echter, pV=C is empirisch houdbaar gebleken, maar met de formules voor SVE en TGV moet in 2005 het empirische natrekken nog beginnen, terwijl niemand zelfs maar een zweem van hun houdbaarheid kan garanderen. Kortom, hoe indrukwekkend inductief-statistische formules er wellicht uitzien voor mensen met respect voor formules, vooralsnog zijn en blijven het op z’n best verklaringspogingen. Dat niet alleen, in de positivistische psychologie zijn er honderdduizenden van dat soort niet-nagetrokken, laat staan empirisch aangetoonde, en dus betekenisloze formules in omloop. Psychologische tests en meerkeuzetoetsen hebben er evenveel als het aantal dimensies waarvoor ze geacht worden scores af te leveren. Daarnaast zijn er nog duizenden losstaande formules binnen allerlei, doorgaans louter positivistisch-methodologische beschouwingen zonder psychologisch-inhoudelijke verklaringspogingen en zonder empirische en logische argumentaties vóór hun houdbaarheid. De volgende 2 voorbeelden komen uit het werk van Glas, één van de deelnemers aan de bijeenkomst van 5 april:

Φin) = γi + (1-γi).exp(αiθni)/(1+exp(αiθni)) en H(ξ,ξ) = - ∂^2lnL(ξ;X,D)/ ∂ξ∂ξ´.

De lezer zou op basis hiervan licht de indruk kunnen krijgen dat de (onderwijs)psychologie al zo ver is dat ze beschikt over formules met 2 exponentiële functies en met afgeleides van een logaritmische functie! En dat terwijl bijvoorbeeld Boyle zelf zijn wet nooit in geformulariseerde vorm heeft gezien. Die verregaande ontwikkeling van de inductieve psychologie is echter schijn want de 4 bovenstaande en talloze vergelijkbare formules zijn nooit empirisch aangetoond. Bovendien is vanuit feitelijk-empirisch en abductief standpunt bekeken het toepassen van een niet-verankerde verklaringspoging zo ongeveer een wetenschappelijke doodzonde. Na het lezen en begrijpen van de genese van de in wiskundig opzicht veel eenvoudigere wet van Boyle kunnen zulke formules niet anders overkomen dan als potsierlijk in plaats van als degelijk wetenschappelijk.[27]
Ten tweede, Power en Townley stellen de ‘Puy de Dôme’-proef en Robervals binnenlaten van lucht samen tot de proef waarin een klassieke opstelling eerst naar een hoogte wordt gedragen om daar lucht in de buis met kwik te laten en vervolgens op verschillende hoogtes, onder het afdalen, metingen te doen. De ‘Puy de Dôme’-proef en Robervals proeven met kwik en lucht zijn dus enkelvoudige systemen, gebaseerd op intrasystemische operaties, en Powers en Townley’s proef een samengesteld systeem, gebaseerd op intersystemische operaties. Op die intersystemische fase volgt de formeel-verbale fase met Townley’s en Boyles kwantitatieve wet en daarop de formeel-formulaire fase met pV=C. Niet alleen hier maar in het algemeen is dit de operationele gang van zaken: concreet-intrasystemisch → concreet-intersystemisch → formeel-verbaal → formeel-formulair. Welnu, hiervan is in de inductieve statistiek volstrekt geen sprake. Met name bij een testscore, die toch met meer dan één item wordt bepaald, ontbreekt het intersystemische opereren: de verschillende items staan psychologisch-inhoudelijk los van elkaar, terwijl hun item-item-correlatiecoëfficiënten veel dichter bij 0 liggen dan bij 1; zie mijn bespreking van de NPV (we denken dus een moment mee met de inductieve statistiek door aan te nemen dat die coëfficiënten vakinhoudelijk relevant zouden zijn en dus reële in plaats van schijngetallen zouden opleveren, wat niet het geval is zoals we hebben gezien in B.V van ‘Statistiek en de statistieken’). In de inductieve statistiek ontbreekt dus de cognitief-psychologische sekwentie ‘concreet-intrasystemisch → concreet-intersystemisch → formeel-verbaal → formeel-formulair’. Dit is des te oneigenlijker daar positivistische psychologen er steeds op wijzen dat hun inductief-statistische werkwijze op de natuurwetenschappelijke methode gebaseerd zou zijn, terwijl die cognitief-psychologische sekwentie wel in natuurwetenschappelijke geschiedenissen wordt aangetroffen.[28]
Kortom, de genese van de geformulariseerde wet van Boyle onderstreept eens te meer de onwetenschappelijkheid van de inductieve statistiek en de getalsmatige, geformulariseerde en gemathematiseerde gedaante die ze van meet af aan heeft aangenomen.

Noten

1 E. Vervaet, ‘Statistiek en de statistieken’, Struktuur en genese, 2004, vol.17, p.26-54. Terug naar de tekst

2 J. Graunt, Natural and political observations mentioned in a following index, and made upon the bills of mortality, Londen, Martin, Allestry & Dicas, 1662, p.2, p.3 en p.4. Terug naar de tekst

3 I.B. Cohen, ‘Florence Nightingale’, Scientific American, maart 1984, vol.250, p.128-137, met name p.132v en p.136. Terug naar de tekst

4 É. Durkheim, Le suïcide; étude de sociologie, Parijs, Alcan, 1897; geciteerd is uit de Engelse vertaling Suicide; a study in sociology, Londen, Routledge & Kegan Paul, 1952, p.115vv, p.171-180, p.180-189 en p.37. Voor Glas zie www.stichtinghistos.nl/5aprilglas.htm. Terug naar de tekst

5 L.E. Maistrov, Probability theory; a historical sketch, New York , Academic Press, 1974, p.17v, p.24 en p.26v.
De Italiaanse Rigatelli vindt in de Nationale Bibliotheek van Firenze een anoniem manuskript van rond 1400 dat het verdelen van de pot reeds op houdbare wijze verklaart; L.T. Rigatelli, ‘Il “problema delle parti” in manoscritti del XIV e XV secolo’, Mathemata; Festschrift für Helmuth Gericke (red. M. Folkers en U. Lindgren), Stuttgart, Steiner, 1985, p.229-236.
I. Schneider, ‘The market place and games of chance in the fifteenth and sixteenth centuries’, Mathematics from manuscript to print, 1300-1600 (red. C. Hay), Oxford , Clarendon, 1988, p.220-235.
E. Coumet, ‘Le problème des partis avant Pascal’, Archives internationales d’histoire des sciences, 1965, vol.18, p.245-272.
L. Pacioli, Summa de arithmetica, gemometria, proportioni et proportionalità, Venetië, De Paganinis, 1494, ‘De militaribus’.
G. Cardano, Practica arithmeticae generalis, Milaan, Calusco, 1539, fol.289, verso. In hoeverre Cardano’s bewijs voor die 3 gevallen wiskundig en logisch houdbaar is, ben ik niet nagegaan.
N. Tartaglia, General trattato di numeri et misure, Venetië, Troiano, 1556.
Œuvres de Fermat (red. P. Tannery en C. Henry), Parijs, Gauthier-Villars, 1844, vol.2, p.288-314.
C. Huygens, De ratiociniis in ludo alaeae (vertaling door Huygens’ leraar Van Schooten van Rekeningh van spelen van geluck), in F. à Schooten, Exercitationum mathematicarum libri quinque, Leiden, Elsevier, 1657, p.517-534 (Nederlandstalige uitgave van 1660, p.485-500).
De inleiding van de geschiedenis van het verdelen van de pot bevat eveneens een voorbeeld van de onderzoekscyclus. Het is immers verrassend dat dat probleem zovelen heeft beziggehouden. De verboden en dus het veinzen voor het oog van wetsdienaren zijn de empirisch houdbare verklaringspoging. Terug naar de tekst

6 Œuvres (op.cit), brief van Pascal aan Fermat van 29 juli 1654, paragraaf 7. Terug naar de tekst

7 S.D. Poisson, ‘Note sur la loi des grands nombres’, Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des Sciences, 1836, vol.2, p.377-379 ; het verslag van een mondelinge discussie hierover staat op p.380-382.
Pre-poissoniaanse wetten van de grote getallen zijn onder meer: ‘And the more observations or experiments there are made, the less will the conclusion be liable to err, provided they admit of being repeated under the same circumstances’ (T. Simpson, ‘On the advantage of taking the mean of a number of observations, in practical astronomy’, Philosophical transactions, 1755, vol.49, p.82-93, met name p.93) en ‘altho’ chance produces irregularities, still the odds will be infinitely great, that in process of time, those irregularities will bear no proportion to the recurrency of that order which naturally results from ORIGINAL DESIGN’ (A. de Moivre, The doctrine of chances, Londen, Millar, 1756 (derde druk), A method of appoximating the sum of the terms of the binomial (a+b)^n expanded into a series, p.243-254, met name slot van opmerking I). Terug naar de tekst

8 J. Bernoulli, Ars conjectandi, Bazel, Fratres Thurnisii, 1713, deel 4, hoofdstuk 2, axioma 3.
N. Bernoulli, De usu arti s conjectandi in jure , Bazel, Mechel, 1709, hoofdstuk 3.
E. Halley, ‘An estimate of the degrees of the mortality of mankind, drawn from curious tables of the births and funerals at the city of Breslaw; with an attempt to ascertain the price of annuities upon lives’, Philosophical transactions, 1693, vol.17, p.596-610. Terug naar de tekst

9 Ptolemaios, Almagest, boek 3, hoofdstuk 1. Als Ptolemaios’ verklaringspoging voor Hipparchos’ 2 lentepunten houdbaar zou zijn, zou het lentepunt om 8u30 geweest zijn.
Ptolemaios, Handbuch der Astronomie, 2 volumina (red. K. Manitius), Leipzig, Teubner, 1912, vol.1, p.427, noot 21.
Kleomedes’ontdekking van de atmosferische breking van het licht is gegaan volgens de onderzoekscyclus. Dat wil zeggen, hij oppert deze breking ter verklaring van de verrassing dat een maansverduistering al kan ingaan terwijl de ondergaande zon nog zichtbaar is. Deze breking resulteert erin dat de zon nog zichtbaar is, zelfs wanneer ze 18° onder de horizon is verdwenen. Zie E. Hoppe, Geschichte der Optik, Leipzig, Weber, 1926, p.14. Terug naar de tekst

10 Brief van Gauss van 24 januari 1812 (aan Olbers): Gauss, Werke, Leipzig, Teubner, 1900, vol.8, p.140.
C.F Gauss, ‘Theoria combinationis observationum erroribus minimis obnoxiae; Anzeigen’, Göttingische gelehrte Anzeigen, 1821, vol.33, p.321-327. In 1809 zet hij zijn bezwaren uiteen in C.F. Gauss, Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientum, Hamburg, Perthes & Besser, 1809, boek II, deel 3, met name §186; als ik Gauss goed begrijp haalt hij hier een tegenstrijdigheid naar voren tussen het minimaliseren van de som van de absolutes waardes van de meetfouten enerzijds en de voorwaarde dat de som van alle meetfouten 0 moet zijn, anderzijds.
R.L. Plackett, ‘The discovery of the method of least squares’, Biometrika, 1972, vol.59, p.239-251. Terug naar de tekst

11 P.S. Laplace (1810), ‘Supplément au mémoire sur les approximations des formules qui sont fonctions de très grands nombres’, Mémoires de l’Académie des Sciences, eerste serie, 1809, vol.10, p.559-565. Terug naar de tekst

12 J. Kepler, Astronomia nova, Heidelberg, Voegelinus, 1609, hoofdstuk 59. Terug naar de tekst

13 A.A. Cournot, Exposition de la théorie des chances et des probabilités, Parijs, Hachette , 1843, §123. Terug naar de tekst

14 C. Darwin, On the origin of species by means of natural selection, or the preservation of favoured races in the struggle for life, Londen, Murray, 1859, p.143-150.
W.S. Jevons, The principles of science, Londen, MacMillan, 1874, vol.2, p.354.
S.M. Stigler, ‘Francis Galton’s account of the invention of correlation’, Statistical science, 1989, vol.4, p.73-85. Terug naar de tekst

15 A. Quetelet, Grondbeginselen der sterrekunde, Utrecht, Van der Post, 1862 (eerste, Franstalige uitgave van 1826), p.79. Ik heb p.78-87, p.96-99 en p.118-130 gelezen. Deze bladzijden bevatten vele voorbeelden van de onderzoekscyclus en van abductie. Echter, ook enkele voorbeelden waarin Quetelet zich in inductionistische zin uitlaat; zie ‘Descartes kwam als eerste op het denkbeeld […] om eene poging te doen om het gordijn op te ligten dat de groote wetten van het heelal verborgen hield’ (p.119). Quetelet schrijft dat echter niet als sterrekundige maar geeft daarin iets van zijn epistemologische opvattingen weer. Wetten liggen echter niet ergens verborgen achter een figuurlijk gordijn dat men maar op te lichten zou hebben om er passief kennis van te nemen, maar dienen actief en abductief psychologisch geconstrueerd en nagetrokken te worden.
F. Galton, ‘The history of twins, as a criterion of the relative powers of nature and nurture’, Fraser’s magazine, 1875, vol.12, p.566-576, met name p.569.
K. Pearson, ‘Notes on the history of correlation’, Biometrika, 1920, vol.13, p.25-45, met name paragraaf 2.
R.A. Fisher, ‘The rhesus factor; a study in scientific method’, American scientist, 1947, vol.35, p.95-103, met name p.97.
S.M. Stigler, ‘Who discovered Bayes’ theorem?’, The American statistician, 1983, vol.37, p.290-296. Terug naar de tekst

16 Voor ‘X (of O van ‘geobserveerde score’) = W (of T van ‘true score’) + E’ zie onder meer H. Gulliksen, Theory of mental tests, New York, Wiley, 1950, p.4v en p.28; Q. McNemar, Psychological statistics, New York, Wiley, 1966 (gewijzigd ten opzichte van de eerste druk van 1949), p.146; F.M. Lord en M.R. Novick, Statistical theories of mental test scores, New York, Addison-Wesley, 1968, p.30-38; G.J. Mellenbergh, ‘Psychometrie’, Codex psychologicus (red. H.C.J. Duijker en P.A. Vroon), Amsterdam, Elsevier, 1981, p.69-80, met name p.70v.
Gecorreleerd aan de hoofdformule is de volgende limietgedachte: ‘[…] de ‘ware score’ is bij definitie de limiet van de gemiddelde score. In formule, als Xim de m-de meetuitkomst voor object i is: Ware score, Ti = lim (M→∞)(1/M)∑(m van 1 tot en met M) Xim. Is de ‘ware score’ eenmaal gedefinieerd, dan is de fout-score Eim: Eim = Xim – Ti’; A.D. de Groot, Methodologie, Den Haag, Mouton, 1961, p.284; dit is vrijwel dezelfde formule als die van Theory of mental tests (op.cit), p.28.
Dat X = W+E de hoofdformule is van de testpsychologie, laat zich lastig rijmen met het feit dat de geschiedenis van die formule zo onduidelijk is. Via internet kom ik op zekere dag in de zomer van 2005 op een artikel van de Amerikaan Williams die daarin schrijft: ‘Het is weinig bekend dat […] Yule enkele pionierachtige opmerkingen maakte in de klassieke testleer. De fundamentele vergelijking in de leer is dat O = T+E […]. Het verhaal wil dat […] Yule bovenstaande vergelijking aan Charles Spearman meedeelde […]. Gulliksen werkte [de basisideeën van de klassieke psychologische testleer] uit in zijn bekende boek Theory of mental tests (1950)’ (R.H. Williams, ‘George Udny Yule: statistical scientist’, Human nature review, 2004, vol.4, p.31-37). Nazoeken in Spearmans eerste artikelen van 1904 en in Gulliksens boek leverde echter geen aanvullende inzichten in de geschiedenis van O = T+E. In een e-brief van 27 juli 2005 citeert Williams uit een eigen artikel dat niet beschikbaar is in Nederland: ‘the bekende notatie en terminologie die postuleerden dat waargenomen scores zouden bestaan uit een som van ware scores en meetfoutscores werd door […] Yule geïntroduceerd in een brief aan Spearman (gerapporteerd door Guilford in 1936)’ (D.W. Zimmerman, R.H. Williams, B.D. Zumbo en D. Ross, ‘Louis Guttman's contributions to classical test theory’, International journal of testing , 2005, vol.5, p. 81-95, met name p.83.). In een latere e-brief van Williams blijkt het om Guilfords boek Psychometric methods van 1936 te gaan, maar nazoeken daarin en in de uitgave van 1954 levert ook niets op. Dat schrijf ik Williams op 12 augustus 2005. De volgende dag zendt hij me een kopie van zijn e-brief aan zijn co-auteur Zimmerman door, met daarin onder meer deze zin: ‘Ik ben de weg kwijt om te zeggen waar de uitdrukking O = T+E voor het eerst werd geschreven’. Men stelle zich voor dat de ene natuurkundige aan de andere schrijft: ‘Ik ben de weg kwijt om te zeggen waar de zwaartekrachtwet voor het eerst werd geschreven’…
Het verhaal gaat nog verder. Via een literatuurlijst die Williams me toezendt, en het artikel van Lumsden daarin kom ik erop dat het wel eens zou kunnen lonen in een artikel van de Engelsman C.E. Spearman (1863-1945) van 1910 te zoeken. Over de hoofdformule schrijft Lumsden namelijk: ‘Het verhaal wil dat ze begon met […] Yule die er Spearman (81) over vertelde’ (J. Lumsden, ‘Test theory’, Annual review of psychology, 1976, vol.27, p.251-280, met name p.254). ‘(81)’ is de literatuurverwijzing naar C. Spearman, ‘Correlation calculated from faulty data’, British journal of psychology, 1910, vol.3, p.271-295. Paragraaf I daarin gaat over een formule voor de correlatiecoëfficiënt die toevallige meetfouten elimineert: ‘De correctieformule wordt ongeldig […]. Het cruciale punt werd bereikt toen […] Yule een nieuw en veel eenvoudiger bewijs van de formule gaf’ (p.272). In een noot daarbij staat: ‘In een privébrief, aan mij verzonden in oktober 1908; zijn bewijs staat in aanhangsel e’. Dat aanhangel, op p.294v, bevat inderdaad formules als in de hoofdformule: ‘x1 en y1 zijn maten van x en y in een zekere reeks metingen. x2 en y2 zijn maten van x en y in een andere reeks metingen. Laat x1 = x+δ1, x2 = x+δ2, y1 = y+ε1, y2 = y+ε2, terwijl alle termen staan voor afwijkingen van gemiddeldes. Dan, als wordt aangenomen dat δ, ε, de meetfouten, […]’. Met andere woorden, Yule suggereert Spearman in oktober 1908 inderdaad zoiets als X = T+E, maar hij doet dat in de contekst van het verbeteren van de formule voor de correlatiecoëfficiënt en allerminst in een discussie over scores in psychologische tests. Doorzoeken van 2 van Spearmans latere boeken, namelijk The nature of “intelligence” and the principles of cognition (Londen, Macmillan, 1923) en The abilities of man; their nature and measurement (Londen, Macmillan, 1927), laten dan ook niets zien dat op X = T+E lijkt – tenzij ik slecht heb gezocht. Aan de andere kant merken we op dat Spearman al in 1904 vrij dicht bij X = T+E zit. In ‘”General intelligence”, objectively determined and measured’ (American journal of psychology, 1904, vol.15, p.201-292) schrijft hij namelijk: ‘Het totale effect van al [de meetfouten] kan en masse worden gemeten en wiskundig worden geëlimineerd’ (p.226). In dezelfde richting gaat: ‘Het resultaat dat feitelijk in een of andere laboratoriumtest wordt bereikt, moet noodzakelijkerwijs in elk geval zijn verstoord door verschillende toevalligheden die niets te maken hebben met het werkelijke algemene vermogen van de proefpersoon. […] Er wordt aangenomen dat het resultaat op de lange duur meer en meer bijna waar wordt’ (p.223). Meteen daarop volgt evenwel: ’Dat is echter helemaal niet het geval; deze meetfouten neigen er niet toe om elkaar helemaal te compenseren maar alleen in bijzondere gevallen; telkens laten ze een zekere balans tegen de correlatie achter, die op geen enkele wijze wordt beïnvloed door het aantal gevallen dat is verzameld maar alleen door de grootte van de gemiddelde meetfout’ (p.223v). Kennelijk gaat het hier niet over het meten van intelligentie, maar over het meten van een correlatiecoëfficiënt, waarbij een ‘zekere balans tegen de correlatie’ me overigens geheel onduidelijk is. Terug naar de tekst

17 W.E.K. Middleton, The history of the barometer, Baltimore, John Hopkins University press, 1964, p.3v.
Aristoteles, Physica, IV, 6-8. Terug naar de tekst

18 We gaan voorbij aan de Nederlander Beeckman (1588-1637) die al in 1615 de ‘horror vacui’-gedachte afwijst en denkt in termen van luchtdruk. Zo luidt de eerste stelling bij zijn proefschrift (1618): ‘Water door zuiging opgeheven wordt niet aangetrokken door een kracht van het vacuüm, maar door de drukkende lucht in de lege ruimte geduwd’. Bij mijn weten beïnvloedt Beeckman de genese van de wet van Boyle niet direct. Wel werkt zijn vergelijking van de onderste lagen van de atmosfeer met een grote spons door op velen die de atmosfeer met een spons en/of met wol vergelijken: ‘Men en kan niet loochenen of het onderste van water of locht wort meer geperst dan het opperste, omdat het meer op sich heeft, gelyck een sponse, die groot is’ (1620); Journal tenu par Isaac Beeckman de 1604 à 1634 (red. C. de Waard), Den Haag, Nijhoff, vol.2 (1953), p.157.
History of the barometer (op.cit), p.5-10.
Le opere di Galileo Galilei, Firenze, Barbèra, 1966 (herdruk), vol.14, nr.2040 (Baliani’s brief van 27 juli 1630), nr.2043 (Galilei’s brief van 6 augustus 1630) en nr.2075 (brief van Baliani van 24 oktober 1630).
G. Galilei, Discorsi e dimostrazioni matematiche: intorno a due nuove scienze, Leiden, Elsevier, 1638, ‘Eerste dag’.
Omrekeningen bij de Italiaanse onderzoekers van oude maten naar huidige meters zijn gedaan met deze formules: 1 Genovese palm = 0,248 m; 1 Florentijnse arm = 0,548 m; 1 Florentijnse voet = 0,325 m. Terug naar de tekst

19 History of the barometer (op.cit), p.10-32.
R. Ren zetti, ‘ Torricelli e l'esperienza del vuoto’, Sapere, december 1984, vol.50, p.46-50.
E. Torricelli, Opere (red. G. Loria & G. Vassura), Faenza, Montanari, 1919, vol.3. Terug naar de tekst

20 History of the barometer (op.cit), p.33-54.
B. Pascal, Expériences nouvelles touchant le vide, Parijs, Margat, 1647.
L. Auger, Un savant méconnu: Gilles Personne de Roberval (1602-1675), Parijs, Librairie scientifique, 1962, p.117-133.
Robervals eerste verhaal is P. Roberval, De vacuo narratio Æ I P I De Roberval ad nobilissimum virum D. Desnoyers, in Blaise Pascal, Oeuvres complètes, vol.2. (red. J. Mesnard), Brugge, Desclée de Brouwer, 1970, p.459-477.
Robervals tweede verhaal is P. Roberval, De vacuo narratio ad nobilem virum dominum Desnoyers serenissimæ reginæ poloniæ a consiliis et secretis, in Oeuvres de Blaise Pascal, vol.2 (red. L. Brunschvicg & P. Boutroux), Parijs, Hachette, 1908, p.310-340 en p.359-361 (p.21-35 bevat Robervals eerste ‘verhaal’). Beroemd is ook Robervals proef met de zwemblaas van een karper; vijfde proef. Hij maakt die zwemblaas zo goed mogelijk leeg en bindt hem af. Vervolgens legt hij die in een ruimte die hij van lucht ontdoet. De zwemblaas zet uit, wat hij uitlegt als een bewijs voor het bestaan van ‘verdunde lucht’: die zou in de zwemblaas zijn achtergebleven en uitzetten in een ruimte die leeg wordt gemaakt. Over Robervals proeven met lucht en water schrijft Mersenne op 2 mei 1648 aan Constantijn Huygens: ‘1 duim zuivere lucht doet het kwik 1 duim dalen, terwijl 1 duim water slechts in een daling van 1/14 duim resulteert’; Un savant méconnu (op.cit), p.125.
Noëls beschrijving van Robervals ‘vacuüm in vacuüm’-proef staat in S. Natalis, Gravitas comparata, Parijs, Cramoisy, 1648, p.77-80 (Oeuvres complètes (op.cit), p.637-639). Terug naar de tekst

21 Over de vraag of de ‘vacuüm in vacuüm’-proef wellicht eerder door Pascal of - minder waarschijnlijk - door de Fransman Auzout (1622-1691) is gedaan, woedt een heftig dispuut; zie Oeuvres complètes (op.cit), p.659-664.
B. Pascal en F. Périer, Récit de la grande expérience de l’équilibre des liqueurs, Parijs, Savreux, 1648. Terug naar de tekst

22 History of the b arometer (op.cit), p.55-68.
C. Webster, ‘The discovery of Boyle’s law, and the concept of the elasticity of air in the seventeenth century’, Archive for history of exact sciences, 1966, vol.2, p.441-502, met name noot 142 op p.483 voor Ball als die ‘grote virtuoso’.
J. Agassi, ‘Who discovered Boyle’s law?’, Studies in history and philosophy of science, 1977, vol.8, p.189-250.
J. Pecquet, Experimenta nova anatomica, Parijs, Cramoisy, 1651.
R. Boyle, New experiments physico-mechanical, touching the spring of the air, and its effects, Oxford, Robinson, 1660; herdruk in 1965 (Hildesheim, Olms) van de uitgave van 1772 (Londen, Rivington et al, vol.1), p.10-15 (proef 1) en p.33-39 (proef 17 - Boyles ‘vacuüm in vacuüm’-proef). Ondanks Boyles abductieve werkwijze laat hij zich op p.35 in inductieve zin uit: ‘We konden tot hier toe geen voldoend nauwkeurige waarnemingen doen betreffende de maten van de daling van het kwik, om hen tot een of andere hypothese te reduceren’ – alsof een hypothese uit waarnemingen zou voortvloeien. Het is ondersom: Boyles eigen hypotheses zijn naar aanleiding van verrassingen en toetst hij in nieuwe proeven en waarnemingen. Terug naar de tekst

23 History of the barometer (op.cit), p.68-71.
‘Who discovered Boyle’s law?’ (op.cit).
F. Linus, Tractatus de corporum inseparabilitate, in quo experimenta de vacua, Londen, Martin, Allestry & Dicas, 1661, met name p.60-64.
H. Power, Experimental philosophy, Londen, Martin & Allestry, 1664, p.126-130; zie ook ‘Discovery of Boyle’s law’ (op.cit), p.470-479 (als ik Webster goed begrijp verstaat hij Powers en Townley’s pre-pV=C-verband op een andere wijze die mijns inziens onjuist is; hij voert namelijk een berekening uit, niet tussen de waardes op de top en aan de voet, maar vóór en na het omkeren van de buis op de top). Uit Pecquets boek verneemt Power van Torricelli’s, Pascals en andere vacuümproeven. Op 6 mei 1653 herhaalt hij Périers ‘Puy de Dôme’-proef op de ‘Hallifax-Hill’ nabij zijn woonplaats Halifax in Yorkshire. Aan de voet van de heuvel komt het kwik tot 29 duim, maar op de top, op zo’n 232,5 meter, daalt het kwik ‘meer dan een halve duim lager’; zie Experimental philosophy (op.cit), p.104-106 en ‘Discovery of Boyle’s law’ (op.cit), p.459-464.
R. Boyle, Defence of the doctrine touching the spring and weight of the air, in R.Boyle, New experiments physico-mechanical, touching the spring of the air, and its effects, Oxford, Robinson, 1662; herdruk in 1965 (Hildesheim, Olms) van de uitgave van 1772 (Londen, Rivington et al, vol.1), p.118-185, met name p.151-163 (ontdekking van de wet van Boyle). De J-buis is wezenlijk voor de genese van de wet van Boyle. Al voor zijn boek van 1660 doet Boyle proeven met omgekeerde sifons, dus met U-buizen, onder meer om het soortelijke gewicht van kwik (in de ene arm) ten opzichte van water (in de andere arm) te bepalen. Uit de U-buis ontwikkelt zich wellicht de J-buis; zie ‘Discovery of Boyle’s law’ (op.cit), p.484. Ik ben niet nagegaan of de genese van de U- en J-buis volgens de onderzoekscyclus is gegaan. Terug naar de tekst

24 L.-J. Gay-Lussac, ‘Recherches sur la dilatation des gaz et des vapeurs’, Annales de chimie, 1802, vol.43, p.137-175. Ook zijn volumewet drukt hij in woorden uit: ‘Alle gassen […] en alle dampen zetten even veel uit tussen dezelfde warmtegraden’.
J.-B. Biot, Traité de physique expérimentale et mathématique, Parijs, Deterville, 1816, vol.1, p.112 respectievelijk p.121 (zie ook p.123). In de Franstalige wereld wordt de wet van Boyle de wet van Mariotte genoemd, naar de Fransman Mariotte (1620-1684) vanwege diens toevoeging ‘bij constante temperatuur’ in 1676 aan de wet van Boyle.
Vóór Clausius en Maxwell (zie B.VI) doen velen een poging de wet van Boyle nader te verklaren, maar ook bij hen zal men tevergeefs een formule voor die wet zoeken, terwijl men wel meetkundige en mechanische formules bezigt; zie G.R. Talbot en A.J. Pacey, ‘Some early kinetic theories of gases: Herapath and his predecessors’, The British journal for the history of science, 1966, vol.111, p.133-149. Voorbeeld 1. In 1687 toont de Engelsman Newton – zonder Boyle en diens wet uitdrukkelijk te noemen – wiskundig aan dat onder een aantal natuurkundige aannames de druk van een ingesloten gas evenredig is met de dichtheid van de deeltjes: ‘Deeltjes die van elkaar wegvlieden met krachten die omgekeerd evenredig zijn aan de afstanden tussen hun middelpunten, vormen een elastische vloeistof waarvan de dichtheid is als de druk’ (I. Newton, Philosophiae naturalis principia mathematica, Londen, Royal Society, 1687, boek 2, propositie 23, theorema 18). Voorbeeld 2. In 1738 toont de Nederlander Daniël Bernoulli – eveneens zonder Boyle en diens wet uitdrukkelijk te noemen – aan dat de druk van een ingesloten gas omgekeerd evenredig is aan zijn volume: ‘Samendrukkende gewichten [op dezelfde ingesloten lucht] zijn ongeveer omgekeerd evenredig met de ruimtes die de lucht, die op verschillende wijzen wordt samengedrukt, bezet; hetgeen veelvuldige ervaring heeft aangetoond’ (D. Bernoulli, Hydrodynamica, Straatsburg, Dulsecker, 1738, sectie 10, 1-5).
Ook Newton heeft zijn formele zwaartekrachtwet nooit zelf in formulevorm gesteld of van iemand anders gezien. Hij presenteerde zijn zwaartekrachtwet steeds als 2 uitgeschreven zinnen – één voor ‘massa maal massa’ in de teller van de latere formule en één voor ‘kwadraat van de afstand’ in de noemer. Zie E. Vervaet, ‘Newtons Principia’, Zenit, 1987, p.124-129, p.177-181 en p.206-211 en E. Vervaet, ‘ Newton's construction of the law of gravitation’, in Newton's scienti­fic and philosop­hical legacy (red. P.B. Scheurer & G. Debrock), Dordrecht , Kluwer, 1988, p.281-288 .
In het algemeen geldt dat de mathematisering van de natuurwetenschappen buiten de mechanica en ruimtelijke overwegingen pas vanaf 1790 schoorvoetend aanvangt, in Frankrijk. Zie E. Garber, The language of physics, Boston, Birkhäuser, 1999. Terug naar de tekst

25 C.H.D. Buys Ballot, ‘Über die Art von Bewegung, welche wir Wärme und Electricität nennen’, Annalen der Physik, 1858, vol.103, p.240vv.
R. Clausius, ‘Über die mittlere Länge der Wege, welche bei Molecularbewegung gasförmiger Körper von den einzelnen Molecülen zurückgelegt werden, nebst einigen anderen Bemerkungen über die mechanische Wärmetheorie’, Annalen der Physik, 1858, vol.105, p.239-258. Terug naar de tekst

26 J.C. Maxwell, ‘Illustrations of the dynamical theory of gases’, The London, Edinburgh and Dublin philosophical magazine, 1860, vol.19, p.19-32 en vol.20, p.21-37. Terug naar de tekst

27 In deze overweging stel ik slechts het empirische gehalte van het bepalen van een testscore aan de orde daar inductieve statistici hun werk graag als empirisch – in plaats van empiristisch (en positivistisch) – aanmerken. Dat neemt niet weg dat het lastig is in te zien voor welke verrassing hun formules verklaringspogingen zouden zijn. Dit is dus een bijkomende overweging naast de 2 die in de hoofdtekst uitvoerig worden behandeld.
Op de webpagina nl.outofservice.com/bigfive kan men de Grote Vijf maken. In die versie bestaat hij uit 48 vragen.
C.A.W. Glas, Quality control of on-line calibration in computerized assessment, Enschede, Faculteit van Onderwijswetenschap en –technologie (Universiteit Twente), 1998. Terug naar de tekst

28 Voor het intra- en intersystemische opereren voorafgaand aan het formele opereren, zie E. Vervaet, Strukturalistische verkenningen in kennisleer en persoonlijkheidsleer, Amsterdam, Vervaet, 1986, p.48-73 en ‘ Newton's construction’ (op.cit).
E. Vervaet, Zelfkennispatronen versus persoonlijkheidsvragenlijsten, Utrecht, SWP, p.14-17, met name p.16v voor de gegevens over de item-item-correlatiecoëfficiënten van de NPV. Terug naar de tekst

Klik hier om naar de overige artikelen te gaan
Klik hier om naar de samenvatting te gaan
Klik hier om naar het hoofdmenu te gaan